[論文レビュー] Tannaka-Kreùõn duality for compact quantum homogeneous spaces. I. General theory

Kenny De Commer, Makoto Yamashita|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 36被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな量子群 G の有限次元表現のテンソルカテゴリ Repp(G) におけるモジュール C*-圏の自然同値に関して、G-不変なモジュールのモジュライの同値類としての量子 G-同次空間の間の一対一対応を確立する。同定されたカテゴリカル構造に基づき、エルゴディック作用のためのグローバルな双対性枠組みを提供し、Pinzari と Roberts の先行研究をカテゴリカルかつ表現論的枠組みで一般化する。

ABSTRACT

An ergodic action of a compact quantum group G on an operator algebra A can be interpreted as a quantum homogeneous space for G. Such an action gives rise to the category of finite equivariant Hilbert modules over A, which has a module structure over the tensor category ReppGq of finite-dimensional representations of G. We show that there is a one-to-one correspondence between the quantum G-homogeneous spaces up to equivariant Morita equivalence, and indecomposable module C u -categories over ReppGq up to natural equivalence. This gives a global approach to the duality theory for ergodic actions as developed by C. Pinzari and J. Roberts.

研究の動機と目的

• コンパクトな量子群のエルゴディック作用のためのグローバルなカテゴリカル双対性理論を構築すること。
• G-不変ヒルベルト空間のカテゴリに付随するカテゴリによって、量子 G-同次空間を特徴付けること。
• 量子同次空間と Repp(G) 上のモジュール C*-圏との間の対応関係を、自然同値に関して確立すること。
• カテゴリカルかつ表現論的手段を用いて、Pinzari と Roberts の双対性結果を一般化すること。

提案手法

• 本稿は、作用素代数 A 上の有限 G-不変ヒルベルト空間のカテゴリを、Repp(G) — すなわち G の有限次元表現のテンソルカテゴリ — におけるモジュールカテゴリとして用いる。
• Tannaka-Krein 双対性の原理を応用し、Repp(G) から量子群 G を再構成する。
• G が A に作用する構造を符号化する、G-不変ヒルベルト空間の Repp(G) におけるモジュール構造に依拠する。
• 量子同次空間を G-不変モーリタ同値の意味で分類するため、Repp(G) 上の非分解的モジュール C*-圏の概念を導入する。
• 量子 G-同次空間のカテゴリと Repp(G) 上の非分解的モジュール C*-圏のカテゴリとの間のカテゴリカル同倹を用いて双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エルゴディック作用のコンパクトな量子群作用を、カテゴリカル構造を用いて体系的に分類する方法は何か？
• RQ2 量子 G-同次空間と Repp(G) 上のモジュールカテゴリとの間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 G-不変モーリタ同値は、Repp(G) 上のモジュール C*-圏の構造とどのように関係するか？
• RQ4 カテゴリカル手法を用いて、Tannaka-Krein 双対性を量子同次空間の設定に拡張できるか？

主な発見

• G-不変モーリタ同値の意味で、量子 G-同次空間と Repp(G) 上の非分解的モジュール C*-圏との間には、自然同値に関して一対一対応が存在する。
• 量子同次空間上の有限 G-不変ヒルベルト空間のカテゴリは、自然に Repp(G) 上のモジュールカテゴリをなす。
• 双対性枠組みにより、表現論的およびカテゴリカルなデータを用いて、量子同次空間のグローバルな特徴付けが可能となる。
• 本研究の結果は、Pinzari と Roberts の先行研究の双対性結果をカテゴリカルな枠組み内で一般化・統合する。