[论文解读] Dynamic Return and Star-Shaped Risk Measures via BSDEs

Roger J. A. Laeven, Emanuela Rosazza Gianin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2023

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance被引用 3

一句话总结

本文通过引入Pasch-Hausdorff包络的凸驱动函数，建立了倒向随机微分方程（BSDEs）与动态收益及星形风险度量之间的新联系，确保了解的存在性与唯一性。关键贡献在于证明：若某一BSDE的星形上解集合非空，则存在一个极小的凸上解，且其代表星形风险度量的本质最小值，从而可应用于资本配置与投资组合选择。

ABSTRACT

This paper establishes characterization results for dynamic return and star-shaped risk measures induced via backward stochastic differential equations (BSDEs). We first characterize a general family of static star-shaped functionals in a locally convex Fréchet lattice. Next, employing the Pasch-Hausdorff envelope, we build a suitable family of convex drivers of BSDEs inducing a corresponding family of dynamic convex risk measures of which the dynamic return and star-shaped risk measures emerge as the essential minimum. Furthermore, we prove that if the set of star-shaped supersolutions of a BSDE is not empty, then there exists, for each terminal condition, at least one convex BSDE with a non-empty set of supersolutions, yielding the minimal star-shaped supersolution. We illustrate our theoretical results in a few examples and demonstrate their usefulness in two applications, to capital allocation and portfolio choice.

研究动机与目标

• 在局部凸Fréchet格上刻画一类广义的静态星形泛函族，超越凸分析的范畴。
• 解决星形风险度量中缺乏平移不变性（现金加性）的问题，该问题使得凸风险度量理论中的标准技术无法适用。
• 利用BSDEs建立星形风险度量的动态表示，克服非凸与非单调设定下的挑战。
• 证明当星形上解集合非空时，存在极小的凸上解，且其等于星形风险度量的最小上解。
• 将该框架应用于模型与偏好鲁棒性下的资本配置与最优投资组合选择等实际问题。

提出的方法

• 利用Pasch-Hausdorff包络正则化BSDE的驱动函数，确保Lipschitz连续性及唯一解的存在性。
• 构造一族生成动态凸风险度量的凸驱动函数，其本质最小值可恢复星形风险度量。
• 在Fréchet格框架下分析静态星形泛函，无需依赖单调性或现金加性条件。
• 应用[5]中关于凸风险度量的表示结果，通过对偶性与包络技术将结果推广至星形泛函。
• 利用BSDE的流性质确保所得风险度量的时间一致性，尤其适用于投资组合选择问题。
• 将投资组合选择问题表述为对效用函数与概率测度的极小化-极大化优化问题，通过BSDE技术求解指数型、对数型及幂次型效用函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设单调性或现金加性的静态设定下，星形风险度量应如何刻画？
• RQ2 能否构造一族凸驱动函数，使其最小上解恰好等于给定BSDE的最小星形上解？
• RQ3 在原始星形上解集合非空时，何种条件可确保存在一个非空上解集合的凸BSDE？
• RQ4 如何通过BSDE表示动态收益与星形风险度量，同时保持时间一致性与鲁棒性？
• RQ5 Pasch-Hausdorff包络在正则化BSDE驱动函数时，如何保持所需的风险度量性质？

主要发现

• 在局部凸Fréchet格中刻画了一类广义的静态星形泛函族，无需依赖单调性或现金加性条件。
• Pasch-Hausdorff包络使得可构造保持本质最小值性质的BSDE凸驱动函数，确保在Lipschitz条件下解的存在性与唯一性。
• 若某一BSDE的星形上解集合非空，则存在至少一个凸BSDE，其上解集合非空，且其最小凸上解等于最小星形上解。
• 由于BSDE的流性质，所得动态风险度量具有时间一致性，支持其在序贯决策中的应用。
• 该框架适用于资本配置与投资组合选择，尤其在具有多个效用函数或概率测度的鲁棒设定下。
• 对于指数型、对数型及幂次型效用函数，投资组合选择问题可简化为求解一族凸BSDE，整体解通过在该族中取最小值得到。