[論文レビュー] Dynamics of (Pseudo) Automorphisms of 3-space: Periodicity versus positive entropy

Eric Bedford, Kyounghee Kim|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ f_{\alpha,\beta}:(x_1,x_2,x_3) \mapsto (x_2,x_3, \frac{\alpha_0 + \alpha_1x_1 + \alpha_2x_2 + \alpha_3x_3}{\beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \beta_3x_3}) $ の形をした3次元空間上の双有理写像を研究し、コhomological作用と修正を用いて擬似自己同型への到達を図る。正のエントロピーを有する、$\mathbb{P}^3$ の blown-up 上での最初の既知の擬似自己同型の例を確立し、このような写像が、動的次数が等しくかつコhomologyが可逆であっても、自己同型に双有理的に共役でないことを示している。

ABSTRACT

We study the iterative behavior of the family of 3-step linear fractional recurrences and the family of birational maps they define. We determine all the possible periodicities within this family or, equivalently, the birational maps of finite order. This family also contains pseudo-automorphisms of infinite order. One such family consists of completely integrable maps, and another family consists of maps of positive entropy. Both of these families have invariant families of $K3$ surfaces.

研究の動機と目的

• 3次元空間上の双有理写像の動的性を分析すること、特に周期性と正のエントロピーの対比に焦点を当てる。
• 正のエントロピーを有する $\mathbb{P}^3$ の blown-up 上での明示的な擬似自己同型の例を構成すること。
• このような写像がいつ双有理的に自己同型に共役でないかを特定すること、特に2次元の動的性と対比して。
• 不変 $K3$ 表面の役割と、それらの写像下での動的性、エントロピーおよび共役性の性質を研究すること。
• 2次元における自己同型への双有理的共役性の基準（有界または二次の次数成長、またはSalem数の動的次数）が3次元に拡張されるかを調査すること。

提案手法

• 特定の $ \alpha, \beta $ を用いた $ f_{\alpha,\beta} $ の形の有理写像を用い、制御された動的性を有する例を構成する。
• $ \pi: Z \to \mathbb{P}^3 $ の blown-up を用いて特異点を解消し、擬似自己同型 $ f_Z $ を得る。
• 動的次数 $ \delta_1(f) = \delta_2(f) \approx 1.28064 $ を計算し、$ t^8 - t^5 - t^4 - t^3 + 1 $ の最大根として得る。
• $ f^3 $ における不変 $ K3 $ 表面 $ S_c $ の1パラメータ族および2パラメータ族を構成し、$ f|_{S_c} $ が自己同型であることを示す。
• $ H^{1,1}(Z) $ および $ H^{2,2}(Z) $ 上でのコhomological引き戻し $ f^* $ を用い、不変のカレント $ T^+, T^-, T^+ \wedge T^- $ を特定する。
• $ \text{Pic}(Z) $ 上での $ f_Z^* $ のピカール群作用と特徴多項式を分析し、次数成長と自己同型への共役性の欠如を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}^3$ の blown-up 上に正のエントロピーを有する擬似自己同型が存在しうるか？
• RQ2 3次元空間上の双有理写像が、動的次数が等しくても、自己同型に双有理的に共役でない条件は何か？
• RQ3 このような写像の動的性において不変 $K3$ 表面はどのように生じるのか？ また、エントロピーと共役性においてそれらの役割は何か？
• RQ4 2次元における自己同型への双有理的共役性の基準（有界または二次の次数成長、またはSalem数の動的次数）が3次元に拡張されるか？
• RQ5 コhomological双対性と代数的安定性は、3次元双有理写像の動的性分類において果たす役割は何か？

主な発見

• $\mathbb{P}^3$ の blown-up 上で正のエントロピーを有する、初めての既知の擬似自己同型の例が構成され、$ \delta_1(f) = \delta_2(f) \approx 1.28064 $ であり、$ t^8 - t^5 - t^4 - t^3 + 1 $ の最大根として得られる。
• 定理1に属する写像に対して、1パラメータ族の不変 $ K3 $ 表面 $ S_c $ が存在し、$ f^3|_{S_c} $ は自己同型である。一般の $ c $ に対して、これらの表面はbiholomorphically非同値であり、それらの自己同型は滑らかに共役でない。
• $ f|_{S_0} $ のエントロピーは正であり、$ \log(\delta_1(f)) $ に等しく、これは既知の最小のエントロピーを有する射影的 $ K3 $ 表面自己同型である。
• 定理1および定理3に属する写像は二次の次数成長を示し、コhomological双対性 $ f_Z^* \sim (f_Z^{-1})^* $ を満たしても、自己同型に双有理的に共役でない。
• $ a \neq 1 $ の場合、動的次数はSalem数ではなく、次数成長は有界でも二次でもないため、自己同型に双有理的に共役でない。これは2次元の基準が3次元では成立しないことを示している。
• 有理曲面の8次元不変サイクル $ \mathcal{R} $ への写像の制限は、表面自己同型に双有理的に共役でない。幾何的に有意義な領域において、共役性の欠如が確認された。