[論文レビュー] Edge states and universality class of the critical two-box symmetric SU(3) chain

Pierre Nataf, Samuel Gozel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2021

Quantum many-body systems参考文献 54被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、臨界な二スロット対称SU(3)鎖が、エネルギーが1/(Ns log Ns)に比例する隣接表現における端状態を有することを示している。これは半整数スピンSU(2)鎖に類似したスケーリングである。これらの端状態がエンタングルメントエントロピーを支配しており、なぜDMRGシミュレーションが以前、c = 2であるSU(3)1普遍クラスを確認できなかったかを説明する。端に隣接表現を付加することで、これらの状態が遮蔽され、中心電荷がc = 2の1%以内に収束する。

ABSTRACT

We numerically demonstrate that, although it is critical, the two-box symmetric $\mathrm{SU}(3)$ chain possesses edge states in the adjoint representation whose excitation energy scales with the number of sites $N_s$ as $1/(N_s \log N_s)$, in close analogy to those found in half-integer $\mathrm{SU}(2)$ chains with spin $S\ge 3/2$. We further show that these edge states dominate the entanglement entropy of finite chains, explaining why it has been impossible so far to verify with DMRG simulations the field theory prediction that this model is in the $\mathrm{SU}(3)_1$ universality class. Finally, we show that these edge states are very efficiently screened by attaching adjoint representations at the ends of the chain, leading to an estimate of the central charge consistent within 1\% with the prediction $c=2$ for $\mathrm{SU}(3)_1$.

研究の動機と目的

• 場理論の予測（SU(3)1、c=2）とDMRGシミュレーションで観測された異常な高い中心電荷との間の長年の不一致を解消すること。
• 以前、SU(3)1普遍クラスの確認を曇らせてきた、DMRGシミュレーションにおける誤った中心電荷の原因を特定すること。
• ギャップを持つトポロジカルな相で知られていた端状態が、臨界SU(3)鎖にも存在することを示し、そのエネルギースケーリングが1/(Ns log Ns)に比例することを示すこと。
• これらの端状態が、鎖の端に隣接表現を付加することで効果的に遮蔽され、中心電荷の正確な抽出が回復されることを示すこと。

提案手法

• 最大数百スピンの鎖に対して、開境界条件を用いた密度行列反復法（DMRG）シミュレーションを実施。標準ヤングテーブルを用いて構築されたSU(3)対称基底を用いた。
• 有限の結合次元効果を最小限に抑えるために、破棄重みをゼロに外挿する慎重な処理を施した。エンタングルメントエントロピーの中央電荷を抽出するために、Calabrese-Cardyの公式を用いた。
• 有限鎖のスペクトルを体系的に解析し、特に低エネルギー励起状態に注目。特に、端状態の特徴としての隣接表現[2,1,0]を特定した。
• 鎖の端に補助的な隣接表現を導入し、端状態を遮蔽した。その後、再びエンタングルメントエントロピーと中心電荷を評価した。
• エンタングルメントエントロピーの3を法とする振動（q = x mod 3）を分析し、q = 0とq = 1,2のそれぞれに別々の包絡線をフィットさせ、精度を向上させた。
• ボソン演算子を用いたSU(3)ハミルトニアンを用いた：H = J ∑ᵢ ∑_{α,β=1}³ bₐ†ᵢ bᵦᵢ bᵦ†ᵢ₊₁ bₐᵢ₊₁、二ボソン対称irrep [2,0,0]に制限されたもの。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜDMRGシミュレーションにおいて二スロット対称SU(3)鎖の中心電荷は、SU(3)1普遍クラスの予測値c = 2よりも著しく大きいのか？
• RQ2 この臨界SU(3)鎖に端状態が存在するのか？もしあるなら、そのエネルギースケールと表現は何か？
• RQ3 DMRGで観測された誤った中心電荷は、これらの端状態に起因するエンタングルメントによるものだろうか？
• RQ4 端に隣接表現を付加することで、端状態を遮蔽すれば中心電荷が正しい値に戻るのか？
• RQ5 この臨界SU(3)鎖における端状態エネルギーは、系サイズNsに従ってどのようにスケーリングするのか？

主な発見

• 二スロット対称SU(3)鎖は、エネルギーが1/(Ns log Ns)に比例する隣接表現[2,1,0]の端状態を有しており、これは半整数スピンSU(2)鎖と類似したスケーリングである。
• これらの端状態が有限鎖においてエンタングルメントエントロピーを支配しており、DMRGシミュレーションで観測された異常な高い中心電荷（約3.6–3.7）を説明できる。
• 鎖の端に隣接表現を付加することで、端状態が遮蔽され、エンタングルメントエントロピーはCalabrese-Cardyの公式に良く合うようになり、中心電荷はc = 2の1%以内に収束する。
• 遮蔽された鎖から抽出された中心電荷はc ≈ 2.00に収束し、SU(3)1普遍クラスが確認された。
• エンタングルメントエントロピーの3を法とする振動（q = 0 と q = 1,2）は、別々の包絡線をフィットさせることで解消され、中心電荷推定の精度が向上した。
• 本研究は長年の謎を解明した：場理論と数値計算の間の顕著な不一致は、SU(3)2への遷移ではなく、端状態の寄与によるものである。