[論文レビュー] Effect of nonlinear filters on detrended fluctuation analysis

Zhi Chen, Kun Hu+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2004

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 1被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、線形および非線形フィルタ（特に線形変換、多項式フィルタ、対数フィルタ）が非定常信号におけるデトレンド・フラクチュエーション解析（DFA）の結果に与える影響を調査する。線形フィルタはスケーリング特性を保持するが、非線形フィルタは信号の相関強度、フィルタのパワー、オフセットに応じてDFAスケーリング指数を顕著に変化させることを示している。指数関数、対数関数、べき乗関数は特定のパrameter範囲では同一の外見上のスケーリングを示し、DFAが変換された信号を解析する際の重要な限界を明らかにしている。

ABSTRACT

We investigate how various linear and nonlinear transformations affect the scaling properties of a signal, using the detrended fluctuation analysis (DFA). Specifically, we study the effect of three types of transforms: linear, nonlinear polynomial and logarithmic filters. We compare the scaling properties of signals before and after the transform. We find that linear filters do not change the correlation properties, while the effect of nonlinear polynomial and logarithmic filters strongly depends on (a) the strength of correlations in the original signal, (b) the power of the polynomial filter and (c) the offset in the logarithmic filter. We further investigate the correlation properties of three analytic functions: exponential, logarithmic, and power-law. While these three functions have in general different correlation properties, we find that there is a broad range of variable values, common for all three functions, where they exhibit identical scaling behavior. We further note that the scaling behavior of a class of other functions can be reduced to these three typical cases. We systematically test the performance of the DFA method in accurately estimating long-range power-law correlations in the output signals for different parameter values in the three types of filters, and the three analytic functions we consider.

研究の動機と目的

• 長距離相関を検出するためのデトレンド・フラクチュエーション解析（DFA）の精度に、線形および非線形信号変換が与える影響を理解すること。
• 多項式および対数非線形フィルタが、相関信号の真のスケーリング特性を保持するか歪めるかの条件を同定すること。
• 一般的な解析関数（指数関数、対数関数、べき乗関数）が非線形変換を受けると、その後に現れる外見上のスケーリング行動を調査すること。
• 特に、出力が基礎的なダイナミクスの非線形関数である生理的および物理的システムにおいて、変換された信号にDFAを適用する際のDFAの限界を評価すること。
• 前処理や測定に起因する非線形フィルタリングを受ける信号に対して、DFAの結果を解釈するためのガイドラインを提供すること。

提案手法

• 本研究では、線形（y_i = a*x_i + b）、非線形多項式（y_i = a*x_i^k）、対数（y_i = log(x_i + Δ)）の3種類のフィルタを適用した信号の前後でDFAを適用する。
• 非定常信号におけるべき乗則相関を評価するため、DFA-1およびDFA-ℓを用い、多項式によるトレンド除去を実施してスケーリング指数αを定量する。
• 指数関数（exp(cx + a)）に対して解析的導出を実施し、DFAボックス内での積分および最小二乗フィッティングを用いてフラクチュエーション関数F(n)を導出する。
• フラクチュエーション関数F²(n)を、2つの複雑な関数g(n)およびh(n)の積として表現し、n/Nが小さい範囲で漸近展開することでスケーリング指数を導出する。
• 数値シミュレーションを用いて解析的結果を検証し、相関強度、フィルタパrameter、関数形の範囲でDFAの挙動を調査する。
• パラメータを変化させた際の3つの解析関数（指数関数、対数関数、べき乗関数(x+a)^λ）の外見上のスケーリングを比較し、同一のDFAスケーリングを示す領域を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形フィルタは、デトレンド・フラクチュエーション解析（DFA）によって得られるスケーリング指数αにどのように影響するか？
• RQ2 多項式および対数非線形フィルタは、DFAによって測定される信号の相関およびスケーリング特性をどのように変化させるか？
• RQ3 指数関数、対数関数、べき乗関数が異なる関数形を有するにもかかわらず、どのような条件下でDFA解析において同一の外見上のスケーリングを示すか？
• RQ4 信号の相関強度およびフィルタパrameter（多項式フィルタのk、対数フィルタのΔなど）が、結果として得られるDFAスケーリング指数に与える影響は何か？
• RQ5 任意の解析関数のスケーリング行動が、DFA解析において、3つの代表的ケース（指数関数、対数関数、べき乗関数）にどの程度還元可能か？

主な発見

• 線形フィルタ（y_i = a*x_i + b）はスケーリング指数αに影響を与えず、信号の元の相関特性を保持する。
• 非線形多項式フィルタ（y_i = a*x_i^k）は、元の信号の相関強度およびパワーkに応じてスケーリング指数αを変化させ、奇数kと偶数kでは異なる効果を示す。
• 対数フィルタ（y_i = log(x_i + Δ)）は、元の信号の相関指数が特定の範囲にある場合にのみ、元のスケーリングを保持するが、それ以外の場合は外見上のスケーリングを変化させる。
• 指数関数（exp(±x+a)）、対数関数（log(x+a)）、べき乗関数（(x+a)^λ）は、パラメータaの広い範囲で同一のDFAスケーリング行動（α ≈ 2）を示し、特定の条件下で共通の外見上のスケーリングを有することが示された。
• DFA法は、各DFAボックス内で次数ℓの多項式として局所的に展開可能な任意の関数に対して、同一のスケーリング結果（α = ℓ + 1）を生成するため、この方法に根本的な限界が存在することが明らかになった。
• 関数的挙動がDFAボックス内で発散する場合、関数形およびパラメータに応じて変化するスケーリング指数を示すクロスオーバー挙動を示す。