[論文レビュー] Efficient quantum tensor product expanders and unitary t-designs via the zigzag product

Pranab Kumar Sen|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ジグザグ積を用いて、テンソル積拡張子およびユニタリ $t$-デザインの効率的な量子構成を提案する。これにより、次数とスぺクトルギャップの近似的に最適なトレードオフを達成する、ほぼラマヌジャン型の量子 $t$-テンソル積拡張子が実現される。古典的なジグザグ積を量子設定に一般化し、$t = \mathrm{polylog}(D)$ を達成し、先行手法よりも改善された境界を得る。特に、$\lambda \leq d^{-1/2 + O(1/ackslashsqrtackslash{\log d})}$ の構成が可能となる。

ABSTRACT

A classical t-tensor product expander is a natural way of formalising correlated walks of t particles on a regular expander graph. A quantum t-tensor product expander is a completely positive trace preserving map that is a straightforward analogue of a classical t-tensor product expander. Interest in these maps arises from the fact that iterating a quantum t-tensor product expander gives us a unitary t-design, which has many applications to quantum computation and information. We show that the zigzag product of a high dimensional quantum expander (i.e. t = 1) of moderate degree with a moderate dimensional quantum t-tensor product expander of low degree gives us a high dimensional quantum t-tensor product expander of low degree. Previously such a result was known only for quantum expanders i.e. t = 1. Using the zigzag product we give efficient constructions of quantum t-tensor product expanders in dimension D where t = polylog(D). We then show how replacing the zigzag product by the generalised zigzag product leads to almost-Ramanujan quantum tensor product expanders i.e. having near-optimal almost quadratic tradeoff between the degree and the second largest singular value. Both the products give better tradeoffs between the degree and second largest singular value than what was previously known for efficient constructions.

研究の動機と目的

• 古典的なジグザグ積を量子 $t$-テンソル積拡張子（qTPE）に拡張し、ユニタリ $t$-デザインの効率的構成を可能にする。
• 量子拡張子における次数 $d$ と第二特異値 $\lambda$ のトレードオフを改善し、ラマヌジャン境界に近づける。
• ジグザグ積を「一般化されたジグザグ積」に拡張し、ほぼラマヌジャン型の qTPE を構築し、近的最適なスぺクトルギャップを達成する。
• $t = \mathrm{polylog}(D)$ の $t$-qTPE の構成的メソッドを提供し、従来の代数的または回路ベースの手法の制限を克服する。
• ジグザグ積が大規模な $t$ に対して効率的かつ明示的な $t$-デザインの構成を可能にし、従来の手法よりも効率性とスぺクトル性能を上回ることを示す。

提案手法

• 高次元の $t=1$ 量子拡張子と低次数の $t$-qTPE を、構造化されたスーパーオペレーター合成によって組み合わせることで、ジグザグ積を量子 $t$-テンソル積拡張子に適応する。
• 一般化されたジグザグ積を用いてスぺクトル境界を精緻化し、$\lambda \leq 8(\lambda_1 + 7\epsilon) + \lambda_2^{k-1} + \lambda_2^k + 47\sqrt[4]{t(t-1)/(dd')}$. を達成する。
• 次数 $s$ の $t$-qTPE を $k \leq \log s$ 層に再帰的に合成することで、拡張性を強化する。
• 列 $\vec{\mathcal{H}}$ が $\epsilon$-良いこと（$\epsilon$-良い）を用い、各層でのスぺクトル減衰を制御する。
• 作用素ノルム不等式と摂動解析を用いて、スぺクトルノルム $\|\mathcal{G} - \mathcal{I}\|_\infty \leq \lambda$ を制限する。
• $d' \geq 30 \log s (\log s + \log d) d^{2k+1} \epsilon^{-2}$ のとき、$\vec{\mathcal{H}}$ が存在し、$\lambda_2 < 8s^{-1/2}$ を満たすことが保証され、近的最適なスぺクトルギャップが実現可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なジグザグ積を量子 $t$-テンソル積拡張子に一般化し、$t = \mathrm{polylog}(D)$ のユニタリ $t$-デザインの効率的構成を達成できるか？
• RQ2 量子 $t$-TPE の文脈において、ジグザグ積を用いることで、次数 $d$ と第二特異値 $\lambda$ の間でどのようなスぺクトルトレードオフが達成できるか？
• RQ3 一般化されたジグザグ積により、$\lambda \leq d^{-1/2 + O(1/\sqrt{\log d})}$ を満たすほぼラマヌジャン型の量子 $t$-TPE を得られるか？
• RQ4 局所的ランダム回路や代数的ケイリー群グラフ構成といった従来手法と比較して、ジグザグ積構成はどの程度効率的で、スぺクトル性能に優れているか？
• RQ5 なぜジグザグ積は古典的 $t$-テンソル積拡張子に一般化できないのか？その背後にある構造的差異は何か？

主な発見

• ジグザグ積構成により、$\lambda \leq 8(\lambda_1 + 7\epsilon) + \lambda_2^{k-1} + \lambda_2^k + 47\sqrt[4]{t(t-1)/(dd')}$. の $t$-qTPE が得られる。
• $d' \geq 30 \log s (\log s + \log d) d^{2k+1} \epsilon^{-2}$ のとき、列 $\vec{\mathcal{H}}$ が存在し、$\lambda_2 < 8s^{-1/2}$ を満たす。これにより、近的最適なスぺクトル境界が実現可能となる。
• この方法により、$\lambda \leq d^{-1/2 + O(1/\sqrt{\log d})}$ を満たす、無限個のほぼラマヌジャン型 $t$-qTPE の族が構築可能であり、理論的ラマヌジャン境界に近づく。
• $t=1$ の場合、Ben-Aroya と Ta-Shma [BT11] の結果を回復するが、定数を改善し、$t = \mathrm{polylog}(D)$ に拡張する。
• 一般化されたジグザグ積は、Brandão, Harrow, および Horodecki [BHH16] の局所的ランダム回路構成よりも、次数とスぺクトルギャップのトレードオフが優れている。
• 本構成は、$t = \mathrm{polylog}(D)$ の $t$-qTPE に対して、初めての効率的かつ明示的な方法を提供し、従来の代数的または回路ベースの手法に比べて著しく改善されている。