[論文レビュー] Efficient tensor network simulation of quantum many-body physics on sparse graphs

Subhayan Sahu, Brian Swingle|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2022

Quantum many-body systems被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、スパースで局所的に木構造に近いグラフ（たとえばランダム正則グラフやエクスパンダー・グラフなど）上における量子多体系の局所的期待値および変分的基底状態を、テンソルネットワーク状態を用いて、効率的に計算するための信念伝播に基づく手法を提示する。この手法により、体積則に従うエンタングルメントを持つ状態の多項式リソースによるシミュレーションが可能となり、正確に相転移を捉えることができる。特に、正確な対角化の限界を超える系に対しても、横磁場イジング模型における相転移を高精度で再現する。

ABSTRACT

We study tensor network states defined on an underlying graph which is sparsely connected. Generic sparse graphs are expander graphs with a high probability, and one can represent volume law entangled states efficiently with only polynomial resources. We find that message-passing inference algorithms such as belief propagation can lead to efficient computation of local expectation values for a class of tensor network states defined on sparse graphs. As applications, we study local properties of square root states, graph states, and also employ this method to variationally prepare ground states of gapped Hamiltonians defined on generic graphs. Using the variational method we study the phase diagram of the transverse field quantum Ising model defined on sparse expander graphs.

研究の動機と目的

• 正則格子に制限されないスパースグラフ上における量子多体系の効率的古典的シミュレーション手法の開発を目的とする。
• ループを含むグラフ上におけるテンソルネットワーク状態の局所的期待値を計算する課題に、標準的な縮約手法が失敗する状況に対処することを目的とする。
• メッセージパッシングアルゴリズムを用いて、一般のスパースグラフ上におけるギャップのあるハミルトニアンの変分的基底状態の準備を可能にすることを目的とする。
• 信念伝播の効率を活用して、ランダム正則グラフ上における横磁場量子イジング模型の相図を探索することを目的とする。
• スパースグラフ、特にエクスパンダー・グラフが、僅かな結合次元で高エンタングルメント状態を効率的に表現できることを示すこと。

提案手法

• スパースグラフの局所的に木構造に近い性質を活用し、信念伝播（BP）アルゴリズムを用いてテンソルネットワークの縮約を近似的に実行する。
• BPを用いて、グラフ状態や古典的イジング模型のルート状態などのテンソルネットワーク状態の局所的期待値を計算する。
• BPに基づくローカル更新を用いた変分アルゴリズムを開発し、スパースグラフ上におけるギャップのあるハミルトニアンの近似的基底状態を準備する。
• エネルギーを最小化し、小規模系で正確な基底状態エネルギーに収束するように、結合次元を最適化した変分的手法を採用する。
• 正確な対角化（例：10頂点）を用いて、変分法の精度を検証する。
• フレームワークをランダム正則グラフ上における混合磁場イジングハミルトニアンの系へと拡張し、結合次元の増加に伴う収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 信念伝播は、スパースで局所的に木構造に近いグラフ上に定義されたテンソルネットワーク状態における局所的物理量を、効率的に計算できるか？
• RQ2 BPに基づく変分法は、スパースグラフ上におけるギャップのあるハミルトニアンの基底状態をどの程度正確に準備できるか？
• RQ3 横磁場量子イジング模型の相転移は、ランダム正則グラフ上ではどのように現れ、低結合次元のテンソルネットワークで捉えられるか？
• RQ4 スパースグラフの局所的に木構造に近い構造が、効率的なテンソルネットワークの縮約とエンタングルメント表現を可能にする役割は何か？
• RQ5 BPに基づく切断および更新スキームは、このようなグラフ上における実時間発展のシミュレーションや収束性の向上に利用できるか？

主な発見

• スパースグラフが局所的に木構造に近い性質を持つため、信念伝播はループが存在する状況でも、テンソルネットワーク状態の局所的期待値を効率的に計算可能である。
• 40頂点のランダム正則グラフ上における混合磁場イジング模型に対して、変分法が近似的基底状態を効果的に準備でき、結合次元χを1から3に増加させることでエネルギーが収束することが確認された。
• 10頂点の系において、χ=2の変分基底状態は正確な基底状態（正確な対角化による結果）と重なりが1に達し、収束が確認された。
• この手法は、スパースエクスパンダー・グラフ上における横磁場イジング模型の相転移を捉えることができ、正則格子を超える量子相の研究における有効性を示している。
• スパースグラフは、体積則に従うエンタングルメント状態を、多項式リソースで効率的に表現可能であり、強い相関系のシミュレーションに適していることが示唆される。
• 臨界付近での変分法の失敗は、スパースグラフの平均場的性質に起因するとされ、臨界現象のシミュレーションには均一的または改善された変分アーキテクチャの導入が求められる。