[論文レビュー] Ehressman Semigroups Whose Categories are EI and Their Representation Theory

Stuart Margolis, Itamar Stein|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

semigroups and automata theory参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、関連するEhresmann圏がEI圏（すべての自己準同型が同型である）である有限右（左）制限Ehresmann半群の研究を行う。この半群の代数の単純加群は、任意の体上での最大部分群の既約表現から誘導されるSchur-Zenberger加群であることが示され、良い特性を持つ体上では、非分解的射影加群が一般化されたGreenの関係を介して得られる。さらに、このような半群の族は擬多様体をなしており、部分変換モノイドPT_nの複素数体上での表現理論における明示的な次元公式とCartan行列の成分が提供される。

ABSTRACT

We study simple and projective modules of a certain class of Ehresmann semigroups, a well-studied generalization of inverse semigroups. Let S be a finite right (left) restriction Ehresmann semigroup whose corresponding Ehresmann category is an EI-category, that is, every endomorphism is an isomorphism. We prove that the simple modules of the semigroup algebra over any field are induced Schutzenberger modules of the irreducible modules of the maximal subgroups of S. Moreover, we show that over fields with good characteristic the indecomposable projective modules can be described in a similar way but using generalized Green's relations instead of the standard ones. We show that the collection of finite Ehresmann semigroups whose categories are EI is a pseudovariety and we show in the infinite case, that the collection of Ehresmann semigroups whose categories have endomorphism monoids each having one idempotent is a quasivariety. As a natural example we consider the monoid PT_n of all partial functions on an n-set. Over the field of complex numbers, we give a natural description of its indecomposable projective modules and obtain a formula for their dimension. Moreover, we find certain zero entries in its Cartan matrix.

研究の動機と目的

• 関連する圏がEI圏である有限右（左）制限Ehresmann半群の半群代数上の単純加群および射影加群の構造を理解すること。
• 任意の体、特に良い特性を持つ体上での、このような半群の表現理論を特徴づけること。
• 関連する圏がEI圏である有限Ehresmann半群の族が擬多様体をなすことの証明。
• 複素数体上でのモノイドPT_nに対して、非分解的射影加群の自然な記述を提供し、その次元を計算すること。
• PT_nのCartan行列における特定のゼロ成分を同定すること。

提案手法

• 最大部分群の既約表現から誘導されるSchur-Zenberger加群を用いて、半群代数の単純加群を記述する。
• 良い特性を持つ体上での非分解的射影加群を、標準的なGreenの関係ではなく一般化されたGreenの関係を用いて記述する。
• Ehresmann圏の圏論的解析により、自己準同型が同型であるという性質が半群の構造に制約をもたらすことを確立する。
• 擬多様体の枠組みを活用し、EI圏を持つ有限Ehresmann半群が閉包性質を満たすことを示す。
• 複素数体上での表現論的技法を用いて、PT_nの非分解的射影加群の次元を明示的に計算する。
• PT_nのCartan行列の分析により、加群構造に基づいて特定のゼロ成分を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関連する圏がEI圏である有限右（左）制限Ehresmann半群の半群代数の単純加群は、その最大部分群の既約表現とどのように関係しているか？
• RQ2 このような半群において、良い特性を持つ体上での非分解的射影加群の構造は何か？ そして、標準的なGreenの関係とはどのように異なるか？
• RQ3 関連する圏がEI圏である有限Ehresmann半群の族は、ある種の代数的演算について閉じており、したがって擬多様体をなすか？
• RQ4 複素数体上でのモノイドPT_nの非分解的射影加群の次元は何か？
• RQ5 複素数体上でのPT_nのCartan行列において、どの成分がゼロであり、それは加群構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 任意の体上での半群代数の単純加群は、半群の最大部分群の既約表現から誘導されるSchur-Zenberger加群である。
• 良い特性を持つ体上では、非分解的射影加群は標準的なGreenの関係ではなく、一般化されたGreenの関係を用いて記述される。
• 関連する圏がEI圏である有限Ehresmann半群の族は、擬多様体をなす。
• 複素数体上でのモノイドPT_nに対して、非分解的射影加群の次元が明示的に計算されている。
• 複素数体上でのPT_nのCartan行列には特定のゼロ成分が含まれており、これらは加群構造に基づいて同定され、解釈されている。
• 自己準同型モノイドが各々単一の等幂元をもつEhresmann半群の族は、無限の場合に準多様体をなす。