[論文レビュー] Emerton's Jacquet functors for non-Borel parabolic subgroups

Richard Hill, David Loeffler|arXiv (Cornell University)|May 24, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、$p$-進表現論における非ボレルパラボリック部分群へエイゲン多様体の構成をエイジェント関手を用いて拡張する。非可換レヴィ因子に対して適用可能な関手を用い、導来部分群に関する同型成分が、中心 $Z(M)$ の本質的に適切な局所解析的表現を定める。これにより、非主系列 $p$-進成分を有する自動形式を $p$-進で補間するエイゲン多様体を構成できる。

ABSTRACT

This paper studies Emerton's Jacquet module functor for locally analytic representations of p-adic reductive groups. When P is a parabolic subgroup whose Levi factor M is not commutative, we show that passing to an isotypical subspace for the derived subgroup of M gives rise to essentially admissible locally analytic representations of the torus Z(M), which have a natural interpretation in terms of rigid geometry. We use this to extend Emerton's representation-theoretic construction of eigenvarieties by constructing eigenvarieties interpolating automorphic representations whose local components at p are not necessarily principal series.

研究の動機と目的

• ボレル部分群を超えたエイジェントのエイゲン多様体構成を一般化すること。ここで、$p$-進局所成分が必ずしも主系列でない場合を含む。
• 局所解析的 $p$-進再帰的群の表現の文脈において、非ボレルパラボリック部分群に対するエイジェントのジャケットモジュール関手の性質を研究すること。
• レヴィ因子の導来部分群に対する同型成分を用いて、$p$-進局所成分が主系列でない自動表現をパラメータ化するエイゲン多様体を構成すること。
• 剛体解析的空間と $\widehat{Z(M)}$ 上の coherent sheaf を用いた幾何的解釈を、これらの表現に与えること。
• 標準的なボレルに基づく手法が失敗する状況、特に $J_B(\pi_\mathfrak{p}) = 0$ の場合に、エイゲン多様体構成を拡張すること。

提案手法

• 一般のパラボリック部分群 $P$ に対してエイジェントのジャケット関手 $J_P$ を適用し、そのレヴィ因子 $M$ が可換でない場合を含む。
• レヴィ因子 $M$ の導来部分群 $D = [M,M]$ に関する同型成分へ移行し、中心 $Z(M)$ の表現を得る。
• 中心 $Z(M)$ の本質的に適切な局所解析的表現と、剛体解析的空間 $\widehat{Z(M)}$ 上の coherent sheaf の間の反同値関係を用いる。
• 未分岐ヘッケ代数 $\mathcal{H}^\mathrm{sph}$ がジャケットモジュール $J_P(\widetilde{H}^i_{\mathrm{la}})$ に作用する相対スペクトルとしてエイゲン多様体を構成する。
• より小さなパラボリック部分群 $P_2 \subset P_1$ に対する $Z_2$-要素の作用を用いて、ジャケットモジュールを有限勾配部とゼロ部に分解する。
• ヘッケ作用と可換なジャケットモジュールの商を介して、有限勾配部を $P_2$ に関連するエイゲン多様体の部分多様体と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エイジェントのエイゲン多様体構成は、$p$-進局所成分が主系列でない非ボレルパラボリック部分群へ拡張可能か？
• RQ2 レヴィ因子 $M$ が非可換であるとき、ジャケットモジュール $J_P(\widetilde{H}^i_{\mathrm{la}})$ の構造はいかなるものか？
• RQ3 導来部分群 $D = [M,M]$ の同型成分を用いて、非主系列自動形式をパラメータ化するエイゲン多様体をどのように構成できるか？
• RQ4 剛体解析的空間と coherent sheaf を用いた場合、得られる表現の幾何的解釈は何か？
• RQ5 ネストされたパラボリック $P_2 \subset P_1$ における有限勾配部とゼロ部への分解は、エイゲン多様体の構造にどのように影響するか？

主な発見

• レヴィ因子 $M$ の導来部分群 $D$ に関する同型成分へ移行することで、中心 $Z(M)$ の本質的に適切な局所解析的表現が得られ、$\widehat{Z(M)}$ 上の coherent sheaf を用いた幾何的解釈が可能になる。
• エイゲン多様体 $\mathcal{E}(i,P,W,U)$ は、$Z(M)$ の特徴 $\theta\chi$ とヘッケ固有特徴 $\lambda$ の組 $(\theta\chi, \lambda)$ をパラメータ化し、対応する $J_P(\widetilde{H}^i_{\mathrm{la}})$ 内の固有空間が非ゼロである点を含む。
• 古典的点 $E(i,P,W,U)_{\mathrm{cl}}$ のザリスキ閉包の次元は、パrameter空間の幾何的制約を反映し、$\dim Z(M)$ 以下である。
• 弱いエイジェント基準が成り立つとき、エイゲン多様体の古典的点は、エイゲン多様体自身と、$W$ が特徴であれば追加の一点 $(\chi^{-1}, 1)$ の和集合に含まれる。
• ネストされたパラボリック $P_1 \supseteq P_2$ に対して、エイゲン多様体 $\mathcal{E}(i,P_1,W,U)$ は有限勾配部とゼロ部に分解され、有限勾配部は $\mathcal{E}(i,P_2,W^{N_{12}},U \cap D_2)$ からの商層の押し出しと同型である。
• ヘッケ代数 $\mathcal{H}^\mathrm{ram}$ は有限勾配部上で可逆であり、ゼロ部上で冪零である。これはジャケットモジュールのスペクトル的分解を反映している。