[論文レビュー] Enriched indexed categories

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、有限積を持つベース圏 $Δ$ に対してインデックス化されると同時に、$Δ$-インデックス付きモノイド圏 $Β$ に対して豊かにされた圏である、拡張されたインデックス付き圏を導入する。これらの圏における極限および余極限の形式的理論を構築し、ヤオダ埋め込みを確立し、このような圏が自由余完備化を備えていることを示す。これにより、古典的な豊かにされた、内部的、インデックス付き圏理論が、一貫した枠組みの中で統合される。

ABSTRACT

We develop a theory of categories which are simultaneously (1) indexed over a base category S with finite products, and (2) enriched over an S-indexed monoidal category V. This includes classical enriched categories, indexed and fibered categories, and internal categories as special cases. We then describe the appropriate notion of "limit" for such enriched indexed categories, and show that they admit "free cocompletions" constructed as usual with a Yoneda embedding.

研究の動機と目的

• 豊かにされた、内部的、インデックス付き圏理論の古典的理論を、拡張されたインデックス付き圏という一貫した枠組みに統合すること。
• 重み付き極限とファイバー付き余極限の両方を一般化する、拡張されたインデックス付き圏における極限および余極限の概念を定義すること。
• 古典的な余完備化構成を拡張するように、ヤオダ埋め込みを用いて拡張されたインデックス付き圏の自由余完備化を構成すること。
• パrametrizedホモトピー理論、等長的ホモトピー理論、トポス相対数学への応用のための、形式的圏論的基盤を提供すること。
• 拡張されたインデックス付き圏が、プロファンクターおよび仮想器具といった形式的道具を備え、古典的な豊かにされた圏論と類似した豊かな圏論を支えること。

提案手法

• ベース圏 $Δ$ に有限積を持ち、$Δ$-インデックス付きモノイド圏 $Β$ に対して豊かにされた圏として、拡張されたインデックス付き圏を形式化すること。
• 仮想器具およびプロファンクターの枠組みを用いて、形式的に一貫した方法で重み付き極限および余極限を定義すること。
• 自由余完備化をプレシェーフ・カテゴリとして実現するために、拡張されたインデックス付き圏に対するヤオダ埋め込みを構成すること。
• 特にシュルマンのフレームド2-圏およびプロアロー器具に関する研究から得られる既存の形式圏論の道具を活用し、インデックス付きモノイド圏から出発すること。
• コスモスの変更および基礎となるインデックス付き圏を定義することで、異なる豊かさや一般化の間の関係を確立すること。
• $Β$-ファイブレーションおよびモノイド的 $Β$-圏を導入し、繰り返しの豊かさおよび高階の構成を支援すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 豊かにされた、内部的、インデックス付き圏は、どのように一つの圏論的枠組みに統合できるか？
• RQ2 インデックス化されると同時に豊かにされた圏における、正しい極限および余極限の概念とは何か？
• RQ3 古典的な豊かにされた圏論におけるように、ヤオダ埋め込みを用いて、拡張されたインデックス付き圏の自由余完備化を構成できるか？
• RQ4 プロファンクターおよび仮想器具の形式的道具は、拡張されたインデックス付き圏の文脈にどのように拡張できるか？
• RQ5 この理論の応用は、パラメトリズドまたは等長的ホモトピー理論においてどのように現れるか？また、拡張されたインデックス付き圏の文脈では、それらはどのように現れるか？

主な発見

• 拡張されたインデックス付き圏は、古典的な豊かにされた、内部的、インデックス付き圏を一般化し、パラメトリズドおよび相対的状況における圏論の統一的枠組みを提供する。
• この理論は、古典的な豊かにされた圏論をインデックス付きおよび豊かにされた文脈に拡張する、形式的な重み付き極限および余極限の概念を備えている。
• 拡張されたインデックス付き圏の自由余完備化は存在し、プレシェーフ・カテゴリへのヤオダ埋め込みによって構成される。これは古典的な場合と類似している。
• $Β$-プレシェーフの圏は、自由余完備化をなす。ヤオダ埋め込みは fully faithful であり、余極限を保存する。
• 仮想器具およびプロファンクターを用いて理論が形式化されており、圏論的概念の体系的かつ一般化された構成を可能にする。
• 応用には、パラメトリズドホモトピー理論、等長的ホモトピー理論、トポス相対数学が含まれる。このような圏は、パラメトリズドまたはグローバル構造のモデルとして自然に現れる。