[論文レビュー] Entanglement entropy of the large $N$ Wilson-Fisher conformal field theory

Seth Whitsitt, William Witczak‐Krempa+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2+1次元の大きなN Wilson-Fisher conformal field theory (CFT)のエンタングルメントエントロピー (EE) を、任意のエンタングルメント幾何における大Nレプリカ法を用いて計算している。EEの普遍的部は、ほとんどの幾何においてN個の自由スカラー場のそれと等しいが、半無限の円筒幾何においては、EEがN⁰（Nに依存しない定数）に比例するという顕著な相違を示しており、ガウス型固定点のN線形スケーリングとは対照的である。

ABSTRACT

We compute the entanglement entropy of the Wilson-Fisher conformal field theory (CFT) in 2+1 dimensions with O($N$) symmetry in the limit of large $N$ for general entanglement geometries. We show that the leading large $N$ result can be obtained from the entanglement entropy of $N$ Gaussian scalar fields with their mass determined by the geometry. For a few geometries, the universal part of the entanglement entropy of the Wilson-Fisher CFT equals that of a CFT of $N$ massless scalar fields. However, in most cases, these CFTs have a distinct universal entanglement entropy even at $N=\infty$. Notably, for a semi-infinite cylindrical region it scales as $N^0$, in stark contrast to the $N$-linear result of the Gaussian fixed point.

研究の動機と目的

• 2+1次元におけるO(N) Wilson-Fisher CFTの大きなNにおける普遍的エンタングルメントエントロピー（γ）を、任意のエンタングルメント幾何に対して計算すること。
• 大きなN極限において、強い相互作用を有するWilson-Fisher CFTのエンタングルメントエントロピーと、空間的に依存する質量を持つN個の自由スカラー場のそれとの間の写像を確立すること。
• 非自明な幾何、特に円筒において、Wilson-Fisher CFTとガウス型固定点との間のEEスケーリングの不一致を解明すること。
• 大Nレプリカ法の適用範囲を円形ディスク幾何にとどめず、滑らかな領域、コーナー、円筒、トーラスへと拡張すること。

提案手法

• n→1への解析的接続により、Rényiエントロピーを計算し、エンタングルメントエントロピーを抽出するレプリカ法を用いる。
• 大きなNにおける鞍点近似を用いて、O(N) Wilson-Fisher CFTを自己無撞着な空間的依存質量を持つガウス理論に写像する。
• n→1極限において、質量の空間的依存性がエンタングルメントエントロピーに影響しないことを示し、計算を単純化する。
• 無限平面における滑らかな領域およびコーナーにおけるEEを計算し、それがN個の自由スカラー場のそれと一致することを示す。
• 無限円筒およびトーラス上でのEEを解析し、Zeta正則化とギャップ方程式を用いて、曲がった多様体上での質量ギャップを決定する。
• トーラス上でのギャップ方程式の数値的逆解法により、モジュラーパラメータτおよびねじれ角φx, φyの関数として質量パラメータm₁を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大N Wilson-Fisher CFTの普遍的エンタングルメントエントロピーは、すべてのエンタングルメント幾何においてN個の自由スカラー場のそれと一致するか？
• RQ2 半無限の円筒幾何において、エンタングルメントエントロピーはNにどのように依存するか？ガウス型固定点とはどのように異なるか？
• RQ3 大Nレプリカ法は、円形ディスクにとどまらず、任意の滑らかでコーナーを持つ領域へと一般化可能か？
• RQ4 n枚のシートにわたる幾何における空間的依存質量の役割は何か？なぜn→1極限ではその寄与が消えるのか？
• RQ5 トーラス上でのWilson-Fisher CFTと自由スカラー理論との間で、普遍的EE値はどのように比較できるか？

主な発見

• 平面における滑らかなエンタングルメント領域およびコーナーにおいて、Wilson-Fisher CFTの普遍的エンタングルメントエントロピーは、N個の自由スカラー場のそれと同一であり、同じγを持つ。
• 半無限の円筒幾何において、普遍的EEはN⁰に比例するが、ガウス型固定点のN線形スケーリングとは著しく対照的である。
• トーラス上では、自由理論およびWilson-Fisher CFTの両方においてγ/Nの比は非ゼロであるが、その値は異なり、普遍的部に非自明な差が存在することを示している。
• n枚のシートにわたる幾何における空間的依存質量は、n→1極限においてエンタングルメントエントロピーに寄与しないことが示され、定数質量を持つ自由理論への写像が可能になる。
• ディスク幾何においては、既知の結果に一致する：γ_disk = N × γ_disk_free + O(N⁰)であり、Gross-Neveu模型における自由フェルミオンの結果とも整合する。
• トーラス上での質量ギャップは、Zeta正則化されたグリーン関数とヤコビのシータ関数を用いた数値的逆解法により、ギャップ方程式を解くことで決定される。