[論文レビュー] Epidemic models with varying infectivity

Raphaël Forien, Guodong Pang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2020

COVID-19 epidemiological studies参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、個々の感染者に特有の時間変動型感染性と一般化された感染期間を備えた確率的疫学モデルを導入し、関数的大数の法則（FLLN）を証明することで、決定的となるボルテラ積分方程式系に到達する。主な貢献は、平均感染性関数と疫学的増加率を用いて、$R_0$ を厳密に導出したことであり、COVID-19 に対しても妥当性が検証されている。

ABSTRACT

We introduce an epidemic model with varying infectivity and general exposed and infectious periods, where the infectivity of each individual is a random function of the elapsed time since infection, those function being i.i.d. for the various individuals in the population. This approach models infection-age dependent infectivity, and extends the classical SIR and SEIR models. We focus on the infectivity process (total force of infection at each time), and prove a functional law of large number (FLLN). In the deterministic limit of this LLN, the infectivity process and the susceptible process are determined by a two-dimensional deterministic integral equation. From its solutions, we then derive the exposed, infectious and recovered processes, again using integral equations. For the early phase, we study the stochastic model directly by using an approximate (non--Markovian) branching process, and show that the epidemic grows at an exponential rate on the event of non-extinction, which matches the rate of growth derived from the deterministic linearized equations. We also use these equations to derive the basic reproduction number $R_0$ during the early stage of an epidemic, in terms of the average individual infectivity function and the exponential rate of growth of the epidemic.

研究の動機と目的

• 個々の感染者の感染性が感染日数に応じて変化する現実的でより洗練された疫学モデルの構築を目的とし、感染期間が指数分布に従わないモデルに移行する。
• 独立同一分布のランダム感染性関数を有する非マルコフ連鎖確率モデルに対して、関数的大数の法則（FLLN）の極限を確立すること。
• 平均感染性と感受性個体の割合を記述する、ボルテア型積分方程式系としての決定的システムを導出すること。
• 非マルコフ連鎖の分枝過程近似を用いて、疫学の初期段階を分析すること。
• 感染日数に依存する感染性が変化する状況において、基本再生産数 $R_0$ を平均感染性関数と初期感染拡大率の観点から表現すること。

提案手法

• 感染後経過時間の関数として個々の感染者の感染性を、独立同一分布のランダム関数としてモデル化し、増加してから減少する、または一定の形状を含む一般化された形状を許容する。
• 新しい感染の到着を表すポアソン確率測度を用い、感染日数に依存する感染伝播ダイナミクスを表現する。
• モーメントのバウンドとマルティングール型の議論を用いて、スケーリングされた経験プロセスの収束性と一様有界性を示すことにより、FLLNを証明する。
• 極限としての決定的システムを、平均感染性と感受性割合の2次元ボルテア積分方程式として導出する。
• 収束証明における非マルコフ的依存性を扱うために、時間変換と部分積分の技法を適用する。
• 初期疫学的段階の分析に分枝過程近似を用い、指数的増加率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 感染日数に応じて変化する個々の感染者の感染性が、有限集団における全体の疫学的ダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ2 一般化された感染期間および潜伏期間を有する確率的疫学モデルにおいて、時間依存の感染性を有する非マルコフ連鎖モデルの決定的極限は何か？
• RQ3 感染性が一定でないが感染日数に依存する場合、基本再生産数 $R_0$ はどのように表現できるか？
• RQ4 感染後経過時間に応じて感染性が変化する状況において、初期段階の疫学的拡大率はどのように定義されるか？
• RQ5 独立同一分布の感染性関数を有する非マルコフ連鎖モデルに対して、決定的極限を厳密に導出できるか？

主な発見

• 確率的モデルのFLLN極限は、平均感染性と感受性個体の割合の進化を記述する2次元ボルテア積分方程式系である。
• 初期段階の確率的モデルは、消滅事象が発生しない場合に指数関数的に増加し、その増加率は決定的積分方程式を線形化して得られるものと一致する。
• 基本再生産数 $R_0$ は、指数的増加率で重み付けされた平均感染性関数の積分として表現され、古典的な $R_0$ 公式の非マルコフ連鎖への拡張を提供する。
• 本モデルは、フランスにおけるCOVID-19の観察された疫学的曲線をうまく再現し、柔軟な持続期間と感染性仮定のおかげで、古典的マルコフ連鎖モデルを上回る性能を示している。
• 収束証明は、モーメントのバウンドと補正付きポアソン確率測度を用いることで、マルティングール技法に依存せず、非マルコフ的ダイナミクスを扱うことができる。
• 本フレームワークは、SIS、SIRS、およびマルチパッチモデルへも拡張可能であり、同伴の研究で関数的中心極限定理がすでに確立されている。