[論文レビュー] Equidistribution and coprimality

José Fernández, Pablo Fernández|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ℕʳにおけるr重組の等分布性および漸近的密度について、割り算の制約の下での互いに素、対ごとに素、k-wiseに素なr重組に焦点を当て、ゼータ関数およびジョルダントウティエント関数を用いて正確な漸近的密度を確立し、不等分布関数の鋭い評価を与え、不等分布がO(lnʳ⁻¹(n)/n)の速度で減少することを示している。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of equidistributional properties of extit{totient points} in $\mathbb{N}^r$, that is, of coprime $r$-tuples of integers, with particular emphasis on some relevant sets of totient points fulfilling extra divisibility or coprimality conditions, or lying on arithmetic progressions.

研究の動機と目的

• ℕʳにおけるr重組の等分布性を、特に互いに素、対ごとに素、またはk-wiseに素な条件の下で分析すること。
• 追加の割り算または素数性の制約を満たすr重組の特別な集合の漸近的密度を特定すること。
• 不等分布関数を用いて等分布の速度を定量化すること、特に対ごとに素なr重組に対して。
• 古典的な互いに素な対に関する結果を、構造的な素数性および割り算の条件を伴う高次元r重組へと拡張すること。

提案手法

• {1,…,n}における一様にランダムなr重組の確率的モデルを用い、極限定理により漸近的密度を導出する。
• 包含除算法則およびモービウスの反転公式を用いて、素数性および割り算の条件を満たすr重組の数を数える。
• ジョルダントウティエント関数φᵣ(m)および乗法的算術関数を用いて、制約付きr重組の正確な密度を表現する。
• トートの定理（素数性条件を伴う格子点数え上げ）の修正版を用いて不等分布の評価を得る。
• gcdおよびlcmの値に関する正規化された測度の極限的挙動を、[0,1]ʳ内の正規化されたグリッド上で分析する。
• gcdおよびlcmで重み付けされた測度が、リーマン測度または非一様な極限に収束する速度を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各成分が互いに素な固定されたr重組𝐚をそれぞれ割り切るr重組が、互いに素であるような漸近的密度は何か？
• RQ2 n → ∞ のとき、対ごとに素なr重組の集合の不等分布はどのように減少するか？
• RQ3 点(x₁/n,…,xᵣ/n)にgcd(x₁,…,xᵣ)の質量を割り当てる正規化された測度νₙの極限分布は何か？
• RQ4 点(x₁/n,…,xᵣ/n)にlcm(x₁,…,xᵣ)の質量を割り当てる正規化された測度ηₙは、高次元においてリーマン測度に収束するか？
• RQ5 fᵣ(u) = ∏_{p|u}(1 - r/(p + r - 1)) で定義される乗法的算術関数fᵣ(u)は、混合の割り算および素数性条件を満たすr重組の密度にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 互いに素なr重組の漸近的密度はDₛ = 1/ζ(r)であり、対ごとに素なr重組の場合はDₛ = Tᵣである。ここでTᵣはオイラー積を用いて定義される既知の定数である。
• 成分が互いに素である固定されたr重組𝐚に対して、𝐚で割り切れてかつ互いに素なr重組の密度はDₛ = (1/ζ(r)) · φᵣ₋₁(|𝐚|)/φᵣ(|𝐚|)) である。ここでφᵣはジョルダントウティエント関数である。
• 対ごとに素なr重組の集合の不等分布Δₛ(n)は、cᵣ/n ≤ Δₛ(n) ≤ Cᵣ lnʳ⁻¹(n)/n を満たし、O(lnʳ⁻¹(n)/n)の速度で減少することが示された。
• 点(x/n,y/n)にgcd(x,y)の質量を割り当てる正規化された測度νₙは、[0,1]²上でリーマン測度に弱収束し、誤差はO(1/ln n)で抑えられる。
• 点(x/n,y/n)にlcm(x,y)の質量を割り当てる正規化された測度ηₙは、[0,1]²上で密度4abの測度に収束するが、リーマン測度には収束しない。
• 高次元r ≥ 3の場合、gcdで重み付けされた測度はリーマン測度に収束するが、lcmで重み付けされた測度はリーマン測度に収束せず、その極限は非一様である。