[논문 리뷰] Equivalence between tails, Grand Lebesgue Spaces and Orlicz norms for random variables without Cramer's condition

Yuriy Kozachenko, Eugeny Ostrovsky외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 15.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Cramér 조건을 요구하지 않고 실수 확률 변수에 대해 尾행동, 그랜드 리만스페이스(Great Lebesgue Space, GLS) 노름 및 오르리치 노름 사이의 비점근적, 双방향적, 상수 인자까지 정확한 등가성을 확립한다. 젊-펜체르 변환과 尾추정을 통해, 기저 함수 공간의 미약한 정규화 조건 하에서 이러한 노름들이 상호 등가임을 보이며, 이는 이전 연구에서 요구하던 지수적 모멘트 조건을 초월한다.

ABSTRACT

We offer in this paper the non-asymptotical pairwise bilateral exact up to multiplicative constants interrelations between the tail behavior, moments (Grand Lebesgue Spaces) norm and Orlicz's norm for random variables (r.v.), which does not satisfy in general case the Cramer's condition.

연구 동기 및 목표

• 확률 변수에 대해 비점근적, 상호 이원적 양방향 관계를 尾행동, 그랜드 리만스페이스(Great Lebesgue Space, GLS) 노름 및 오르리치 노름 간에 확립한다.
• 기존 연구에서 일반적으로 요구되는 Cramér 조건의 가정을 제거한다.
• 모멘트 성장 및 尾감쇠의 일반 조건 하에서 이 세 노름 간의 정확한 상수 인자 등가성을 제공한다.
• GLS 및 오르리치 스페이스 이론의 적용 가능성을 무거운 尾를 지닌 분포 및 지수적으로 감쇠하지 않는 분포로 확장한다.

제안 방법

• 모멘트 생성 함수와 尾감쇠 간의 관계를 설정하기 위해 젊-펜체르 변환을 사용하여 Cramér 조건 없이도 노름 등가성을 도출한다.
• 체비셰프-마르코프 부등식을 적용하여 모멘트 조건과 尾경계 간의 상호 변환을 수행한다.
• ψ(p)에 의해 스케일링된 p-노름의 상한을 통해 그랜드 리만스페이스 노름을 정의하며, h(p) = p ln ψ(p)가 볼록임을 가정한다.
• |u| ≥ e 에 대해 N[ψ](u) = exp(h*(ln|u|)) 로 정의된 얀-오르리치 함수를 통해 오르리치 노름을 도입하며, 이는 GLS 노름의 쌍대와 연결된다.
• 다양한 尾함수에 대한 적분을 비교하기 위해 확률적 지배성에 관한 핵심 보조정리를 도입한다.
• G(x/K) ≤ αG(x) 를 만족하는 α ∈ (0,1), K > 1 조건을 사용하여 적분 가능성과 노름 등가성의 역방향을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Cramér 조건을 가정하지 않고도 尾행동, GLS 노름 및 오르리치 노름 간의 등가성이 확립될 수 있는가?
• RQ2 ψ(p)의 성장 함수에 어떤 조건이 성립해야 尾감쇠가 유한한 오르리치 노름을 유도하고, 그 반대도 성립하는가?
• RQ3 모멘트 생성 함수 내의 천천히 변화하는 함수가 노름 등가성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 지수적 모멘트가 존재하지 않을 경우에도 노름 간의 등가성이 상수 인자까지 정확하게 성립하는가?

주요 결과

• ψ에 대한 미약한 정규성 조건 하에서, 尾함수 Tξ(u) ≤ exp(−h*ψ(ln(u/(CK)))) 이 성립함과 동시에 오르리치 노름 ||ξ||LN[ψ] 가 유한함이 서로 동치이다.
• ψ(p) = p/L(p) 이고 L이 무한대에서 천천히 변화하는 함수일 경우, 尾추정 Tξ(x) ≤ exp(−C(L)x ln L(x)) 이 성립함과 동시에 GLS 노름이 유한함이 서로 동치이다.
• G(x/K) ≤ αG(x) 조건이 어떤 α ∈ (0,1), K > 1 에 대해 성립하면, 尾경계가 오르리치 노름이 유한함을 유도하며, 이는 역방향 포함에 대한 충분조건을 제공한다.
• Cramér 조건이 실패하더라도 노름 간의 등가성은 상수 인자까지 정확히 유지되며, 이는 이전 연구에서 경량 尾 분포에 국한된 결과를 일반화한다.
• 역례는 ψ(p)의 지지집합이 유한할 경우(즉, b < ∞) 등가성이 성립하지 않음을 보여주며, 이 경우는 아직 미해결 문제로 남아 있다.
• L이 천천히 변화하는 함수일 때, ψ(p) = p^{1/m}L(p) 및 ψ(p) = cp[ln(p+1)]^r L(ln p) 형태의 함수로 결과가 확장됨을 확인하여 광범위한 적용 가능성을 입증한다.