[論文レビュー] Equivalence of the Generalized Zhang-Zhang Polynomial and the Generalized Cube Polynomial

Petra Žigert Pleteršek|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2016

Graph theory and applications参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ベンゼノイド系、タブレン、フラーレンの共鳴解析において、6-サイクル（ヘキサゴン）と10-サイクルを含む一般化された張＝張多項式と一般化された立方体多項式を導入する。一般化された張＝張多項式が分子グラフの共鳴グラフの一般化された立方体多項式に等しいことを証明し、共鳴エネルギーに寄与する10-サイクルを含む既知の等価性を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study the resonance graphs of benzenoid systems, tubulenes, and fullerenes. The resonance graph reflects the interactions between the Kekul e structures of a molecule. The equivalence of the Zhang-Zhang polynomial (which counts Clar covers) of the molecular graph and the cube polynomial (which counts hypercubes) of its resonance graph is known for all three families of molecular graphs. Instead of considering only interactions between 6-cycles (Clar covers), we also consider 10-cycles, which contribute to the resonance energy of a molecule as well. Therefore, we generalize the concepts of the Zhang-Zhang polynomial and the cube polynomial and prove the equality of these two polynomials.

研究の動機と目的

• 6-サイクルに加え、共鳴エネルギーに寄与する10-サイクルを含むように張＝張多項式を一般化すること。
• 6-サイクルと10-サイクルの両方を考慮する共鳴グラフの一般化された立方体多項式を定義すること。
• 分子グラフの一般化された張＝張多項式とその共鳴グラフの一般化された立方体多項式の間の等価性を確立すること。
• 既知の張＝張多項式と立方体多項式の等価性を、6-サイクルから10-サイクルを含む共鳴系へ一般化すること。

提案手法

• 隣接するヘキサゴンからなる6-サイクル（ヘキサゴン）と10-サイクルを含む一般化されたクラール被覆を定義する。
• 6-サイクルに対して変数x、10-サイクルに対して変数yを用いる一般化された張＝張多項式ZG(G,x,y)を導入する。
• 共鳴グラフR(G)の一般化された立方体多項式GC(R(G),x,y)を定義し、指定されたサイクル寄与を有するハイパーキューブに同型な誘導凸部分グラフを数える。
• k個のヘキサゴンとl個の10-サイクルを含む一般化されたクラール被覆から、Q_k × Q_lに同型な誘導凸部分グラフへの一対一対応写像f_{k,l}を構成する。
• このような一般化されたクラール被覆の数が、共鳴グラフ内の対応する誘導凸部分グラフの数に等しいことを証明する。
• 共鳴グラフにおける完全マッチング、対称差、凸部分グラフの性質を用いて、一対一対応性と多項式の等価性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共鳴エネルギーに寄与する10-サイクルを含むように、張＝張多項式を一般化できるか？
• RQ2 10-サイクルを考慮する共鳴グラフの対応する一般化された立方体多項式は存在するか？
• RQ3 10-サイクルを含めた場合に、張＝張多項式と立方体多項式の等価性は成立するか？
• RQ4 一般化されたクラール被覆（10-サイクルを含む）と共鳴グラフ内の誘導凸部分グラフとの間の構造的関係は何か？

主な発見

• ベンゼノイド系、タブレン、フラーレンにおいて、一般化された張＝張多項式ZG(G,x,y)と一般化された立方体多項式GC(R(G),x,y)は等価である。
• 例多項式ZG(G,x,y) = 34 + 53x + 35x² + 12x³ + x⁴ + 48y + 7y² + 37xy + xy² + 3x²yにおけるx²yの係数3は、2つの6-サイクルと1つの10-サイクルを含む3つの一般化されたクラール被覆に対応する。
• この係数は、P₂²□P₃に同型な誘導凸部分グラフの数を数えることも確認され、一対一対応が裏付けられる。
• 証明により、k個のヘキサゴンとl個の10-サイクルを含む一般化されたクラール被覆から、Q_k × Q_lに同型な誘導凸部分グラフへの一対一関数f_{k,l}が構成される。
• 10-サイクルから得られるヘキサゴンh_iとh_i'が互いに素で、丁度1つの辺を共有することを示し、適切なサイクル形成を保証する。
• 共鳴グラフの凸部分グラフQがf_{k,l}(C)に同型であることが示され、一般化された立方体多項式が一般化された張＝張多項式と同じ構造を数え上げることを証明する。