[論文レビュー] Equivariant structure constants for ordinary and weighted projective space

Julianna Tymoczko|ArXiv.org|Jun 22, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多項式環の直和への埋め込みを用いて、さまざまなトーラス作用の下での重み付き射影空間の積分的トーラス-equivariantコホロジー環を計算する。通常の射影空間のequivariantコホロジーの構造定数について、差分作用素を用いた明示的公式を提示し、重み付き射影空間へはシューベルト類のスカラー倍を用いて拡張する。主な結果として、文献にまだ存在しない、単純で洗練された構造定数の公式を新たに得る。

ABSTRACT

We compute the integral torus-equivariant cohomology ring for weighted projective space for two different torus actions by embedding the cohomology in a sum of polynomial rings $\oplus_{i=0}^n \Z[t_1, t_2,..., t_n]$. One torus action gives a result complementing that of Bahri, Franz, and Ray. For the other torus action, each basis class for weighted projective space is a multiple of the basis class for ordinary projective space; we identify each multiple explicitly. We also give a simple formula for the structure constants of the equivariant cohomology ring of ordinary projective space in terms of the basis of Schubert classes, as a sequence of divided difference operators applied to a specific polynomial.

研究の動機と目的

• 重み付き射影空間の異なるトーラス作用の下での積分的トーラス-equivariantコホロジー環を計算すること。
• 通常の射影空間のequivariantコホロジー環の構造定数をシューベルト類基底に関して特定すること。
• 重み付き射影空間のequivariantコホロジー類を通常の射影空間の類のスカラー倍として表現することにより、これらの結果を重み付き射影空間へ拡張すること。
• 既存の文献にない、簡潔で明快な公式を、通常の射影空間の構造定数に対して提供すること。

提案手法

• 重み付き射影空間のequivariantコホロジーを直和 $\oplus_{i=0}^{n}\mathbb{Z}[t_0,\ldots,t_n]$ に埋め込む。
• Goresky-Kottwitz-MacPherson (GKM)理論を適用し、局所化技術を用いてコホロジーを計算する。
• 差分作用素 $\partial_i$ を $\partial_i p = \frac{p(\ldots,t_{i+1},t_i,\ldots) - p(\ldots,t_i,t_{i+1},\ldots)}{t_i - t_{i+1}}$ で定義し、構造定数を表現する。
• 重み付き射影空間の類と通常のシューベルト類との関係を示すスカラー倍 $\kappa_i^\lambda$ を特定する。
• 公式 $c_{ij}^{k,\lambda} = \frac{\kappa_i^\lambda \kappa_j^\lambda}{\kappa_k^\lambda} c_{ij}^k$ を用いて、重み付きの場合の構造定数を計算する。
• 差分作用素の性質と帰納法を用いて、$\alpha_k = t_k - t_{k+1}$ 基底における係数の非負性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き射影空間の積分的トーラス-equivariantコホロジー環の構造は、異なるトーラス作用の下でどのようになるか？
• RQ2 通常の射影空間のequivariantコホロジーの構造定数は、シューベルト類の観点からどのように表現できるか？
• RQ3 重み付き射影空間のシューベルト類と通常の射影空間の類との間の正確なスカラー倍は何か？
• RQ4 既存の文献に存在しない、単純で組合せ論的に明快な公式を、射影空間のequivariant構造定数に対して得られるか？
• RQ5 重み付きの場合の構造定数は、$\alpha_k$ 基底で表現した際に、通常の場合と同様に非負性の性質を保つか？

主な発見

• $H^*_{T}(\mathbb{P}^n)$ の構造定数 $c_{ij}^k$ は、$c_{ij}^k = \partial_{k-1} \cdots \partial_j q$ で与えられ、$c_{ij}^j = q$ であり、ここで $q = \prod_{\ell=0}^{i-1} (t_\ell - t_j)$ である。
• 構造定数の公式は極めて単純であり、グラスマンニアンにおける類似公式の複雑さを考慮すると、文献にまだ存在しない可能性が極めて高い。
• $T^\lambda$-equivariantコホロジーの $w^\lambda\mathbb{P}^n$ に対して、各基底類は通常のシューベルト類のスカラー倍 $\kappa_i^\lambda$ として表され、$\kappa_i^\lambda$ はカワザキが通常コホロジーで得たスカラーと一致する。
• 重み付きの場合の構造定数は $c_{ij}^{k,\lambda} = \frac{\kappa_i^\lambda \kappa_j^\lambda}{\kappa_k^\lambda} c_{ij}^k$ で与えられ、通常の場合への直接的な拡張を提供する。
• $\alpha_1 = t_1 - t_2, \ldots, \alpha_{n-1} = t_{n-1} - t_n$ 変数で表現した際、すべての係数 $c_{ij}^k$ は非負整数係数の多項式である。これは差分作用素の帰納法による証明で示される。
• 非負性の証明は、$\partial_k c_{ij}^k = c_{ij}^{k+1}$ であり、$s_k$ の作用が帰納ステップにおける非負性を保つという事実に依存する。