[論文レビュー] Error estimates of a discontinuous Galerkin method for time fractional diffusion problems with nonsmooth data

Binjie Li, Hao Luo+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 48被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非滑らかなデータを伴う時間分数拡散問題に対して、時間方向に区分定数、空間方向に連続区分線形の離散化を用いた不連続ガレルキン法を提案する。初期データがゼロの場合とソース項がゼロの場合に、それぞれ $ L^2(0,T;L^2\left(\Omega\right)) $-ノルムで $ O(h^2 + \tau) $ および $ O(h + \tau^{1/2}) $ の最適収束速度を確立し、デルタ関数型初期データやソース項への解析を拡張する。

ABSTRACT

This paper analyzes a discontinuous Galerkin method for time fractional diffusion problems. The method uses piecewise constant functions in the temporal discretization and continuous piecewise linear functions in the spatial discretization. The weak solution and its regularity are firstly considered. Then in the $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-norm the convergence orders $ O(h^2+ au) $ and $ O(h+ au^{1/2}) $ are respectively derived in the following two cases: the initial value $ u_0 $ vanishes and the source term $ f $ belongs to $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $; $ u_0 $ belongs to $ L^2(\Omega) $ and $ f $ vanishes. The case that a Dirac measure occurs in $ u_0 $ or $ f $ is also considered. Finally, numerical experiments are conducted to verify the theoretical results.

研究の動機と目的

• 時間分数拡散方程式に対して、非滑らかな初期データまたはソース項を伴う不連続ガレルキン法の収束挙動を分析すること。
• 初期データ $ u_0 $ およびソース項 $ f $ の正則性に関する異なる仮定の下で、$ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-ノルムにおける誤差推定を確立すること。
• 物理的・工学的応用で一般的なデルタ関数型初期データまたはソース項を含む場合への解析を拡張すること。

提案手法

• 時間方向に区分定数関数、空間方向に連続区分線形関数を用いて空間的・時間的離散化を行う。
• 時間方向の分数マージンを扱うために弱形式を導出し、非滑らかな解に対しても安定性と整合性を保証する。
• 弱解の正則性推定を活用して、時間的および空間的誤差を別々に評価する。
• エネルギー技法と有限要素空間の近似性質を用いて誤差推定を導出する。
• $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-ノルムにおける2つの異なるケース（$ u_0 = 0 $, $ f \in L^2(0,T;L^2(\Omega)) $ および $ u_0 \in L^2(\Omega) $, $ f = 0 $）に対して収束速度を確立する。
• 正則性と誤差伝播の解析を通じて、デルタ関数型データを扱うように手法を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データまたはソース項が非滑らかい場合に、時間分数拡散問題に対して不連続ガレルキン法が達成できる収束速度は何か？
• RQ2 初期データ $ u_0 $ およびソース項 $ f $ の正則性が、$ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-ノルムにおける収束次数にどのように影響するか？
• RQ3 初期データまたはソース項にデルタ関数が含まれる場合、この手法は最適収束速度を維持できるか？
• RQ4 低正則性解が存在する状況下で、時間的および空間的離散化誤差はどのように相互作用するか？

主な発見

• 初期データがゼロ（$ u_0 = 0 $）でソース項 $ f \in L^2(0,T;L^2(\Omega)) $ の場合、$ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-ノルムで収束速度 $ O(h^2 + \tau) $ を達成する。
• ソース項がゼロで $ u_0 \in L^2(\Omega) $ の場合、同じノルムで収束速度は $ O(h + \tau^{1/2}) $ である。
• 理論的解析により、初期データまたはソース項にデルタ関数が含まれる場合でも、手法は最適収束性を維持することが確認された。
• 数値実験により理論的収束速度が検証され、非滑らかなデータ条件下でも手法の頑健性が裏付けられた。