[論文レビュー] Essential p-dimension of algebraic tori

Roland Lötscher, Mark L. MacDonald+2 more|ArXiv.org|Oct 29, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特徴が $ p $ でない体上の代数的トーラスの本質的 $ p $-次元に対する明示的公式を確立し、カルペンコとメルクルジェフによる有限 $ p $-群に関する結果を拡張する。トーラスのキャラクター格子と $ \mathbb{Z}G $-格子を通じた表現論的分析により、本質的 $ p $-次元は $ p $-忠実表現の最小ランクとして計算され、$ p^2 $ の位数をもつ巡回拡大によって分裂するトーラスに対して正確な値が得られる。

ABSTRACT

The essential dimension is a numerical invariant of an algebraic group G which may be thought of as a measure of complexity of G-torsors over fields. A recent theorem of N. Karpenko and A. Merkurjev gives a simple formula for the essential dimension of a finite p-group. We obtain similar formulas for the essential p-dimension of a broader class of groups, which includes all algebraic tori.

研究の動機と目的

• 有限 $ p $-群の本質的 $ p $-次元に関するカルペンコとメルクルジェフの公式を、特に代数的トーラスを含むより広い代数的群のクラスへと拡張すること。
• 巡回拡大の位数が $ p^2 $ を割り切るものによって分裂するトーラスの本質的 $ p $-次元を、表現論的およびコホモロジー的手段を用いて特定すること。
• $ p $-群 $ G $ によって分裂する $ k $ 上の不定値トーラスを分類し、$ p $-局所化後の $ \mathbb{Z}G $-格子を用いてそれらの本質的 $ p $-次元を計算すること。
• トーラスの本質的 $ p $-次元とそのキャラクター格子の $ p $-忠実表現の最小ランクとの間の関係を確立すること。
• $ G $ が巡回拡大のガロア群であるとき、すべての不定値トーラスについて、その本質的 $ p $-次元の完全な表を提供すること。

提案手法

• 特にガロアコホモロジー函手 $ H^1(*, G) $ に対して、関手の本質的 $ p $-次元の概念を用い、$ \operatorname{ed}_k(G; p) $ を定義する。
• $ p $-群 $ G $ によって分裂する $ k $ 上の不定値トーラスを分類するために、$ \mathbb{Z}G $-格子およびその $ p $-局所化の理論を適用する。
• $ p $-忠実表現の概念と、キャラクター格子 $ M $ に上る $ \mathbb{Z}G $-置換格子の最小ランクを用い、$ \operatorname{ed}(T; p) = \operatorname{rk}P - \operatorname{rk}M $ を得る。
• 固定点の定数群 $ C = \operatorname{Split}_k(T[p]) $ を用いて、置換格子 $ P $ の不定値和因子の数を特定する。
• $ H^0(G, M) $ などのコホモロジー的道具を用い、特定の格子において非自明な $ G $-不変キャラクターが $ C $ に非自明に制限されないことを示し、より高いランクの表現を除外する。
• 加法定理（定理 8.1）とねじれ有限群の構造を用いて、本質的 $ p $-次元の計算を格子論的不変量へと還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位数が $ p^2 $ を割り切る巡回拡大によって分裂する代数的トーラスの本質的 $ p $-次元は何か？
• RQ2 キャラクター格子を $ \mathbb{Z}G $-加群として見たとき、トーラスの本質的 $ p $-次元はどのように計算できるか？
• RQ3 $ p $-群 $ G $ によって分裂する不定値トーラスのキャラクター格子として現れる $ \mathbb{Z}G $-格子はどれか？ それらの本質的 $ p $-次元は何か？
• RQ4 トーラスのキャラクター格子の構造とガロア群の作用から、その $ p $-忠実表現の最小ランクを特定できるか？
• RQ5 $ \mathbb{Z}G $-格子内の $ G $-不変キャラクターが、定数群 $ C = \operatorname{Split}_k(T[p]) $ に非自明に制限される条件は何か？

主な発見

• キャラクター格子が $ M_1, M_2, M_4 $ に同型であるトーラス $ T $ については、本質的 $ p $-次元が 0 である。これは、グロタンディークの意味で特別であることを示している。
• $ M_3 $ または $ M_5 $ に対応するトーラスの本質的 $ p $-次元は 1 である。これらの格子は、ランクが $ p $ より小さい非自明な $ p $-忠実表現をもたないためである。
• $ M_7 $ および $ M_8 $ の場合、本質的 $ p $-次元は $ p $ である。最小の $ p $-忠実表現のランクが $ p^2 $ であり、$ \operatorname{ed}(T; p) = p^2 - (p^2 - p) = p $ となるためである。
• $ M_9, M_{10}, M_{11}, M_{12} $ の場合、本質的 $ p $-次元は $ p $ である。最小の $ p $-忠実表現のランクが $ p^2 + p $ であり、$ \operatorname{ed}(T; p) = (p^2 + p) - p^2 = p $ となるが、より高いランクの表現が可能であっても、最小性は保たれる。
• 著者らは、$ M_{9,r}, M_{10,r}, M_{11,r}, M_{12,r} $ の $ G $-不変キャラクターが $ C $ に非自明に制限されないことを証明し、これによりランク $ p^2 + 1 $ の表現が除外され、最小性 $ p^2 + p $ が確認される。
• すべての $ G $ によって分裂する不定値トーラスについての本質的 $ p $-次元の完全なリストが表形式で提示され、キャラクター格子のランクと構造に応じて 0 から $ p $ の値をとる。