[論文レビュー] Evolution of generalized couple-stress continuum theories: a critical analysis

Ali R. Hadjesfandiari, Gary F. Dargush|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2014

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 33被引用数 25

ひとこと要約

本稿は一般化されたコッペル応力連続体理論を批判的に分析し、一貫したサイズ依存力学を構築するには、変位およびマクロ回転場を基本的な自由度として採用する必要があると主張する。人工的なミクロ回転を排除する。また、偏りのない曲率テンソルがコッペル応力テンソルの球面部に不定性を引き起こすことを示し、表面モーメント力の法線成分が消えるべきであることを確立する。これにより、一貫した数学的・力学的枠組みのもとで、コッペル応力理論、ひずみ勾配理論、ミクロポーラー理論が統合・精錬される。

ABSTRACT

In this paper, we examine different generalized couple-stress continuum mechanics theories, including couple stress, strain gradient and micropolar theories. First, we investigate the fundamental requirements in any consistent size-dependent couple stress continuum mechanics, for which satisfying basic rules of mathematics and mechanics are crucial to establish a consistent theory. As a result, we show that continuum couple stress theory must be based on the displacement field and its corresponding macrorotation field as degrees of freedom, while an extraneous artificial microrotation cannot be a true continuum mechanical concept. Furthermore, the idea of generalized force and independent generalized degrees of freedom show that the normal component of the surface moment traction vector must vanish. Then, with these requirements in mind, various existing couple stress theories are examined critically, and we find that certain deviatoric curvature tensors create indeterminacy in the spherical part of the couple stress tensor. We also examine micropolar and micromorphic theories from this same perspective.

研究の動機と目的

• サイズ依存連続体力学理論の基本的整合性要件を確立すること。
• コッペル応力、ひずみ勾配、ミクロポーラー理論における長年の曖昧さを解消すること。
• 人工的なミクロ回転が連続体力学の原則に適合しないことを示すこと。
• 一貫した理論において、表面モーメント力の法線成分が消えるべきであることを示すこと。
• 一貫した数学的・物理的原則の下で、一般化されたコッペル応力理論を統合・批判的に評価すること。

提案手法

• テンソルの対称性および保存則を含む数学的・力学的公理に基づく基本的整合性条件の導出。
• 変位およびマクロ回転場を主自由度として位置づけ、余分なミクロ回転を排除する分析。
• 一般化された力および一般化された自由度の概念を用いて、表面力の制約を導出する。
• 特に偏りのない部分に注目した曲率テンソルの構造を検討し、コッペル応力テンソルの不定性の原因を特定する。
• 導出された整合性基準の下で、コッペル応力、ひずみ勾配、ミクロポーラー、ミクロモーフィック理論を比較・対比する。
• テンソル代数および変分原理を用いて、支配方程式および境界条件を形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一貫したサイズ依存連続体力学理論に必要な基本的数学的・力学的要件は何か？
• RQ2 なぜ人工的なミクロ回転は連続体力学の原則に適合しないのか？
• RQ3 曲率テンソルの選択（例：偏りのない部分 vs. 全体）が、コッペル応力テンソルの決定性にどのように影響するか？
• RQ4 一貫したコッペル応力理論において、表面モーメント力に満たすべき制約は何か？
• RQ5 ミクロポーラー理論およびミクロモーフィック理論は、同一の整合性基準の下で、一般化されたコッペル応力理論とどのように比較できるか？

主な発見

• 一貫したコッペル応力理論において、変位およびマクロ回転場が基本的自由度として機能しなければならない。
• 人工的なミクロ回転は真の連続体力学的概念ではなく、一貫した定式化から排除されなければならない。
• 一貫した理論において、表面モーメント力ベクトルの法線成分は消えるべきである。
• 偏りのない曲率テンソルは、コッペル応力テンソルの球面部に不定性を引き起こし、特定の定式化を無効にする。
• 一般化されたコッペル応力理論は、一貫した数学的・物理的原則の下で、ひずみ勾配理論およびミクロポーラー理論と統合される。
• 本分析により、従来の一般化されたコッペル応力理論における長年の不整合が、明確な妥当性基準を設けることによって解消された。