[論文レビュー] Evolution of quasi-characteristic functions in quantum stochastic systems with Weyl quantization of energy operators

Igor G. Vladimirov|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 63被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、マーカフィアン・ハドソン＝パルタサラシー量子確率的微分方程式（QSDEs）に従うオープンな量子確率的系において、準特徴関数（QCFs）の時間発展をWeyl量子化に基づく手法でモデル化する。QCFのための積分微分方程式（IDE）を導出し、Wigner-Moyal位相空間形式を一般化し、非ガウス的ダイナミクスと不変状態の解析を可能にする。特に、線形結合と非二次的ハミルトニアンを持つ系に対して有効である。

ABSTRACT

This paper considers open quantum systems whose dynamic variables satisfy canonical commutation relations and are governed by Markovian Hudson-Parthasarathy quantum stochastic differential equations driven by external bosonic fields. The dependence of the Hamiltonian and the system-field coupling operators on the system variables is represented using the Weyl functional calculus. This leads to an integro-differential equation (IDE) for the evolution of the quasi-characteristic function (QCF) which encodes the dynamics of mixed moments of the system variables. Unlike quantum master equations for reduced density operators, this IDE involves only complex-valued functions on finite-dimensional Euclidean spaces and extends the Wigner-Moyal phase-space approach for quantum stochastic systems. The dynamics of the QCF and the related Wigner quasi-probability density function (QPDF) are discussed in more detail for the case when the coupling operators depend linearly on the system variables and the Hamiltonian has a nonquadratic part represented in the Weyl quantization form. For this class of quantum stochastic systems, we also consider an approximate computation of invariant states and discuss the deviation from Gaussian quantum states in terms of the $χ^2$-divergence (or the second-order Renyi relative entropy) applied to the QPDF. The results of the paper may find applications to investigating different aspects of the moment stability, relaxation dynamics and invariant states in open quantum systems.

研究の動機と目的

• マーカフィアンQSDEsに従う系に非自明な系-場結合を持つオープンな量子確率的系に対して、Wigner-Moyal位相空間的手法を拡張すること。
• 系変数の混合モーメントをすべて符号化する準特徴関数（QCF）のための線形積分微分方程式（IDE）を導出すること。
• 線形結合と非二次的ハミルトニアンを持つ系における準確率密度関数（QPDF）のダイナミクスを解析し、非ガウス的特徴を捉えること。
• QPDFの不変状態の近似計算フレームワークを提供し、QPDFのχ²発散を用いてガウス性からの逸脱を定量化すること。
• QCFの時間発展と位相空間表現における古典的Fokker-Planck-Kolmogorov方程式との関係を確立し、非二次的ハミルトニアンに対してMoyal補正項を含めること。

提案手法

• 非可換演算子の対称順序化を保証するため、ハミルトニアンおよび系-場結合演算子をWeyl量子化形式で表現するWeyl関数計算を用いる。
• Hudson-Parthasarathy形式におけるQSDEsにWeyl変換を適用することで、準特徴関数（QCF）の時間発展を表す線形積分微分方程式（IDE）を導出する。
• QCFの時間発展を、QPDFの関連するIDEに変換する。このIDEは調和系では古典的Fokker-Planck方程式に還元され、非二次的ハミルトニアンではMoyal項を含む。
• QPDFとガウス的基準との間のχ²発散（2次Rényi相対エントロピー）を用いて非ガウス性を定量化し、不変状態への収束を評価する。
• χ²発散の全時間微分を用いて、エネルギー散逸関係を導出し、収束速度と系のダイナミクスおよび結合構造の関係を明示する。
• QPDFの滑らかさに基づく解析を用いて、散逸関係における内積項の非自明な境界を導出し、標準的なコーシー・シュワルツ推定の限界を克服する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非二次的ハミルトニアンと線形系-場結合を持つオープンな量子系において、Weyl量子化を用いて準特徴関数（QCF）をどのように発展させるか。
• RQ2 このような系におけるQCF発展を支配する積分微分方程式（IDE）の構造は何か。また、古典的Fokker-Planck-Kolmogorov方程式をどのように一般化するか。
• RQ3 非二次的ハミルトニアン項の導入がQPDFダイナミクスに与える影響は何か。また、Moyal項は非ガウス的特徴を誘導する役割を果たすか。
• RQ4 QPDFとガウス的基準状態との間のχ²発散を用いて、QPDFのガウス性からの逸脱を定量化できるか。また、その時間微分は緩和ダイナミクスをどのように明らかにするか。
• RQ5 このクラスのオープンな量子系における不変状態の存在と安定性を保証する条件は何か。また、QPDFフレームワークを用いてどのように近似計算できるか。

主な発見

• 系の正準交換関係を満たすオープンな量子系において、準特徴関数（QCF）の時間発展を記述する明示的な線形積分微分方程式（IDE）が導出された。このIDEは、系変数のモーメントダイナミクスを完全に符号化している。
• QPDFのダイナミクスは、IDEに従う。調和系では古典的Fokker-Planck-Kolmogorov方程式に還元され、非二次的ハミルトニアンではMoyal項を含むため、非ガウス的ダイナミクスと負のQPDF値を生じる。
• QPDFとガウス的基準状態との間のχ²発散の全時間微分は、結合行列を含む正定値項と負の積分項の和として表現され、エネルギー散逸と不変状態への収束の可能性を示唆する。
• χ²発散は非ガウス性の定量的指標を提供し、その時間発展は系結合からの駆動項とQPDF構造からの減衰項のバランスによって支配される。
• QPDFの滑らかさ解析を用いて、散逸関係における内積項の非自明な境界が導出され、非有界なカーネル成長のため標準的コーシー・シュワルツ推定が失敗する問題を克服した。
• 本フレームワークにより、ガウス型ポテンシャルの存在下でも不変QPDFの近似計算が可能となり、オープンな量子系における緩和ダイナミクスと安定性解析の位相空間表現が可能になった。