[論文レビュー] Exact analytic solution of sub-horizon scales linear perturbation for general dark energy models

Seokcheon Lee|ArXiv.org|May 28, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、定数の状態方程式 $ω_{\rm de}$ を持つ一般のダークエネルギーモデルにおける、超 horizon スケールの線形密度摂動の最初の正確な解析解を提示する。変数変換により摂動方程式を超幾何微分方程式に変換することで、著者らは超幾何関数を用いた完全な解を導出し、すべての $ω_{\rm de} \neq 0$ に対して正しい成長モードを正確に捉える。また、特に $-1 < \omega_{\rm de} < -1/3$ の範囲で、教科書的な解 $δ^D$ は誤った源項を含むため不正確であることが示され、その結果として物理的でない振動が生じる。

ABSTRACT

Three decades ago Heath found the integral form of the exact analytic growing mode solution of linear density perturbation $δ$ in sub-horizon scales including the cosmological constant or the curvature term. Interestingly, we are able to obtain the analytic solution for general dark energy models with the constant equation of state $ω_{de}$. We compare the correct analytic growing mode solution $δ$ with the text book solution $δ^{D}$. Indeed, both solutions are equal to each other when $ω_{de} = -1$. We also able to extend this solution for the specific form of time varying $ω_{de}$.

研究の動機と目的

• 定数の $\omega_{\rm de}$ を持つ一般のダークエネルギーモデルにおける、超 horizon スケールの線形密度摂動の正確な解析解を導出すること。
• 教科書的解 $\delta^D$ に含まれる誤った源項が成長挙動を歪めることを特定・是正すること。
• 正しい成長モード解が $ω_{\rm de} = -1$ のみで $δ^D$ と一致し、それ以外では発散することを示すこと。
• 特定の時間依存的 $\omega_{\rm de}$ パラメータ化にまで解析解を拡張し、より広範な宇宙論的応用の可能性を示すこと。

提案手法

• 超 horizon 線形摂動方程式を、$x = \ln a$ を変数とする2階常微分方程式に変換する。
• 方程式の再パラメータ化を可能にするために、$Y = \Omega_{\rm de}^{-1} - 1$ を導入し、超幾何型微分方程式に還元する。
• 解のアンザッツ $\delta(Y) = Y^\alpha B(Y)$ を仮定することで、$B(Y)$ に対する超幾何方程式が得られ、そのパラメータは $\omega_{\rm de}$ に依存する。
• 得られた超幾何方程式を解き、超幾何関数 $F(a,b,c;z)$ を用いた一般解を導出する。
• 初期時刻（$a_i \approx 0.1$）における初期条件を適用し、係数 $c_1$ と $c_2$ を固定することで、正しい成長モードの振る舞いを保証する。
• 時間依存的 $\omega_{\rm de}(a) = \omega_1 + \omega_2 / \ln a$ に対しては、新たな変数 $X = Q e^{3\omega_2} a^{3\omega_1}$ を定義することで、同じ関数的形の解析解が得られることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ教科書的解 $\delta^D$ は $\omega_{\rm de} \neq -1$ の場合に、真の成長モード解から系的にずれるのか？
• RQ2 一般の定数 $\omega_{\rm de}$（$\omega_{\rm de} < -1$ および $\omega_{\rm de} > -1/3$ を含む）に対して、超 horizon スケールの線形摂動の正確な解析解を導出できるか？
• RQ3 $\delta^D$ に含まれる誤った源項は、摂動の成長指数および遅刻時挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 特定の $\omega_{\rm de}(a)$ パラメータ化に対して、正確な解析解を時間依存的ダークエネルギーモデルへ拡張できるか？

主な発見

• 成長モードの正確な解析解は、$\delta(Y) = c_1 Y^{\alpha} F(a,b,c;-Y) + c_2 F(a',b',c';-Y)$ として得られ、$\alpha = \frac{1}{2} - \frac{1}{6\omega_{\rm de}}$ であり、パラメータはすべて $\omega_{\rm de}$ によって完全に決定される。
• $\omega_{\rm de} = -1$ の場合、正確な解は教科書的解 $\delta^D$ と正確に一致し、コスモロジカル定数の極限での整合性が確認される。
• 教科書的解 $\delta^D$ は、追加の源項 $-4\pi G(1+\omega_{\rm de})(1+3\omega_{\rm de})\rho_{\rm de}$ を含むため誤りであり、特に $-1 < \omega_{\rm de} < -1/3$ の範囲で物理的でない振動を引き起こす。
• $\omega_{\rm de} < -1$ または $\omega_{\rm de} > -1/3$ の場合、誤った源項は成長を強化し、$\delta^D$ が真の解 $\delta$ よりも速く成長する原因となり、成長指数の値が過小評価される。
• 正しい解では、$\omega_{\rm de} = -0.9$ の場合、$a_i = 0.1$ で係数 $c_1 = 1.088$, $c_2 = -1.223$ であり、$\delta$ は $\delta^D$ よりも大きいことが示される。
• 時間依存的 $\omega_{\rm de}(a) = \omega_1 + \omega_2 / \ln a$ に対しても、$X = Q e^{3\omega_2} a^{3\omega_1}$ を用いた解析解が得られ、非定数 $\omega_{\rm de}$ に対しても適用可能であることが示された。