[論文レビュー] Exact Computation of Minimum Sample Size for Estimation of Binomial Parameters

Xinjia Chen|ArXiv.org|Jul 14, 2007

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 4被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、指定された誤差範囲と信頼水準内で二項確率の推定に必要な最小標本サイズを正確に計算する手法を提示している。長年の計算的障壁を克服し、最小の被覆確率が有限の離散的パラメータ値の集合で達成されることを証明し、再帰的バウンディングを用いることで、古典的手法よりも近似誤差を排除し、過剰な保守性を低減する。

ABSTRACT

It is a common contention that it is an ``impossible mission'' to exactly determine the minimum sample size for the estimation of a binomial parameter with prescribed margin of error and confidence level. In this paper, we investigate such a very old but also extremely important problem and demonstrate that the difficulty for obtaining the exact solution is not insurmountable. Unlike the classical approximate sample size method based on the central limit theorem, we develop a new approach for computing the minimum sample size that does not require any approximation. Moreover, our approach overcomes the conservatism of existing rigorous sample size methods derived from Bernoulli's theorem or Chernoff bounds. Our computational machinery consists of two essential ingredients. First, we prove that the minimum of coverage probability with respect to a binomial parameter bounded in an interval is attained at a discrete set of finite many values of the binomial parameter. This allows for reducing infinite many evaluations of coverage probability to finite many evaluations. Second, a recursive bounding technique is developed to further improve the efficiency of computation.

研究の動機と目的

• 二項パラメータ推定のための正確な最小標本サイズ計算が不可能であるという長年の誤解を解消すること。
• 中心極限定理に基づくアプローチに内在する近似を避ける厳密な手法を開発すること。
• チェルノフやベルヌーイの定理に基づく既存の境界の過剰な保守性を低減すること。
• 最小被覆確率が達成される有限で計算可能なパラメータ値の集合を特定すること。
• 絶対誤差、相対誤差、および混合誤差基準の下で正確で非保守的な標本サイズ決定を可能にすること。

提案手法

• 二項パラメータ区間における最小被覆確率が有限の離散的値の集合で達成されることを証明し、無限の評価を有限のチェックに削減する。
• 被覆確率を推定された割合を中心とする信頼区間内の累積二項確率として定義する。
• 再帰的バウンディング技術を用いて、全列挙を避けて、臨界点における被覆確率を効率的に計算・比較する。
• 臨界点を $\ell/(n(1\pm\varepsilon))$ の形の有理数値および端点 $a$, $b$ として特徴づけ、有限の探索空間を保証する。
• パラメータ $p$ の関数として信頼区間の境界が整数の閾値を跨ぐ際の不連続性を処理するために、左および右極限を適用する。
• その濃度が $2n(b-a)+4$ で上限が与えられる離散的集合 $\{a,b\} \cup \{\ell/(n(1-\varepsilon))\} \cup \{\ell/(n(1+\varepsilon))\}$ を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された誤差範囲と信頼水準の下で、二項確率推定のための最小標本サイズを正確に計算できるか？
• RQ2 中心極限定理に基づく古典的手法の近似誤差を排除することは可能か？
• RQ3 パラメータ区間における最小被覆確率が有限で計算可能な点の集合で達成されるか？
• RQ4 再帰的バウンディング技術は、正確な標本サイズ決定における計算効率を著しく向上させられるか？
• RQ5 本手法は、チェルノフやベルヌーイの定理に基づく既存の厳密な境界と比較して、どの程度保守的か？

主な発見

• $p \in [a,b]$ における最小被覆確率は、有限の離散的点の集合で達成され、正確な計算が可能である。
• 評価すべき臨界点の数は $2n(b-a)+4$ で上限が与えられ、計算が効率的に行える。
• この手法は中心極限定理に基づく近似誤差を回避し、チェルノフやベルヌーイに基づく境界の過剰な保守性も低減する。
• 被覆確率関数は、区間境界が整数の閾値を跨ぐ点で左連続であり、極限を用いた評価が可能である。
• 任意の $n$ に対して、$p$ の有限個の値の評価のみで最小被覆確率を正確に計算できる。
• 本手法は絶対誤差、相対誤差、および混合誤差基準へも拡張可能であり、統一的なフレームワークを提供する。