[論文レビュー] Exact Resummations in the Theory of Hydrodynamic Turbulence: 0. Line-Resummed Diagrammatic Perturbation Approach

Victor S. L’vov, Itamar Procaccia|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 1995

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、線再結合技術を用いて標準のレイノルズ数展開を再編成することで、流体力学的乱流の図式的摂動理論を提示する。デイソン＝ワイルド再結合により伝播関数を装飾することで、大きなレイノルズ数（Re）からO(1)への有効な展開パラメータへの変換が実現され、発散級数の体系的再結合が可能となり、図式的および経路積分形式の乱流統計力学の間の同等性が確立される。

ABSTRACT

The lectures presented by one of us (IP) at the Les Houches summer school dealt with the scaling properties of high Reynolds number turbulence in fluid flows. The results presented are available in the literature and there is no real need to reproduce them here. Quite on the contrary, some of the basic tools of the field and theoretical techniques are not available in a pedagogical format, and it seems worthwhile to present them here for the benefit of the interested student. We begin with a detailed exposition of the naive perturbation theory for the ensemble averages of hydrodynamic observables (the mean velocity, the response functions and the correlation functions). The effective expansion parameter in such a theory is the Reynolds number (Re); one needs therefore to perform infinite resummations to change the effective expansion parameter. We present in detail the Dyson-Wyld line resummation which allows one to dress the propagators, and to change the effective expansion parameter from Re to O(1). Next we develop the ``dressed vertex" representation of the diagrammatic series. Lastly we discuss in full detail the path-integral formulation of the statistical theory of turbulence, and show that it is equivalent order by order to the Dyson-Wyld theory. On the basis of the material presented here one can proceed smoothly to read the recent developments in this field.

研究の動機と目的

• 乱流理論における高度な理論的ツールの教育的基盤を提供すること、特にこの分野に初めて入門する学生や研究者を対象とする。
• レイノルズ数が大きい場合に生じる、Reにおける発散級数に起因する標準的摂動理論の破綻を解消すること。
• 有限で物理的に意味のある結果をもたらす再結合技術を用いて、乱流の統計理論を再定式化すること。
• デイソン＝ワイルドの図式的アプローチと、乱流の経路積分形式との間の厳密な接続を確立すること。
• 体系的かつ構造化された再結合形式に裏打ちされた基盤を提供することで、最近の乱流理論の発展へのアクセスを容易にすること。

提案手法

• 流体力学における速度、応答関数、相関関数のアンサンブル平均に、素朴な摂動理論を適用する。
• 伝播関数を装飾するためにデイソン＝ワイルドの線再結合を導入し、展開パラメータとしてレイノルズ数（Re）をO(1)に効果的に置き換える。
• 図式的級数のための「装飾された頂点」表現を構築し、高次補正項を体系的に整理する。
• 乱流の統計理論の経路積分形式を導出し、順番ごとにデイソン＝ワイルド手法と同等であることを証明する。
• 図式的技法を用いて摂動級数を再編成し、高レイノルズ数においても収束性と物理的解釈可能性を確保する。
• 場の理論的枠組みを用いて、図式的および関数的積分的手法を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レイノルズ数が大きい場合に、流体力学的乱流における標準的摂動理論をどのように体系的に改善できるか？
• RQ2 線再結合が、ReからO(1)への有効な展開パラメータへの変換において果たす役割は何か？
• RQ3 デイソン＝ワイルド再結合と「装飾された頂点」表現は、図式的級数の収束性をどのように向上させるか？
• RQ4 図式的および経路積分形式の乱流統計力学の間の正確な数学的・物理的同等性は何か？
• RQ5 再結合図式的アプローチは、高レイノルズ数乱流におけるスケーリング則の研究に、堅牢な基盤として機能できるか？

主な発見

• デイソン＝ワイルドの線再結合により、伝播関数がうまく装飾され、摂動展開がReに支配されるのではなくO(1)に制御されるようになり、有限な再結合が可能になる。
• 「装飾された頂点」表現は、再結合理論における高次補正項を体系的かつ一貫的に整理するためのフレームワークを提供する。
• 乱流の統計理論の経路積分形式が、順番ごとにデイソン＝ワイルドの図式的アプローチと同等であることが証明された。
• 再結合形式により、素朴な摂動理論では到達できない高レイノルズ数乱流におけるスケーリング則や相関関数の導出が可能になった。
• この方法により、現代の乱流理論の発展を理解するための厳密で教育的構造化された道筋が提供された。
• このフレームワークにより、制御された再結合技法を用いて乱流における非摂動的効果を研究できるようになり、一部の状況では直接数値シミュレーションの代替手段として有効である。