[論文レビュー] Excited Brownian Motions

Olivier Raimond, Bruno Schapira|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、局所時間に依存するドリフトを持つ連続時間の確率過程、すなわち励起ブラウン運動を導入し、再帰性、正の速度、関数中心極限定理の成立に関する必要十分条件を分析する。主な貢献は、ドリフト関数の積分による長期間の挙動の正確な特徴付けであり、離散的励起ランダムウォークの結果を局所時間に依存する強化の仕組みを持つ連続拡散過程へと拡張したものである。

ABSTRACT

We study a natural continuous time version of excited random walks, introduced by Norris, Rogers and Williams about twenty years ago. We obtain a necessary and sufficient condition for recurrence and for positive speed. This is analogous to results for excited (or cookie) random walks.

研究の動機と目的

• 局所時間に依存するドリフトを持つストラスティック微分方程式を用いて、励起（またはクッキー）ランダムウォークの理論を連続時間へと拡張すること。
• この連続時間枠組みにおいて、再帰性・非再帰性および正の速度の成立に関する必要十分条件を確立すること。
• 過程が関数中心極限定理を満たす条件を導出すること。
• 離散時間の励起ウォークから得られた結果を連続拡散過程へ一般化すること、特にドリフト関数の積分的性質が果たす役割を分析すること。

提案手法

• 局所時間 $ L_t^x $ を $ X $ の $ x $ における時刻 $ t $ までの局所時間とする。$ \varphi $ が有界かつ可測であると仮定し、SDE $ dX_t = dB_t + \varphi(X_t, L_t^{X_t})\,dt $ を用いて励起ブラウン運動を定義する。
• 空間的均一性を仮定し、$ \varphi $ が第一変数に関して定数であるとし、強化機構を支配する関数 $ \varphi(0, \cdot) $ の解析に問題を簡略化する。
• レイ＝ノート型定理およびスケール関数を用いて、異なる測度下での局所時間および通過時間の分布を分析する。
• 局所時間過程の挙動を研究するために、生成作用素 $ \mathcal{L} = 2z d^2/dz^2 + 2(1 - h(z)) d/dz $ を持つ補助的拡散過程 $ Z $ を導入する。
• ドリフト関数 $ \varphi $ を切断された関数 $ \varphi_n $ で近似し、停止時刻の収束を示すことにより、測度 $ \mathsf{P}^\varphi $ の構成と弱収束の一致性を保証する。
• フとヨルおよびドロゴピアトの結果を応用し、中心極限定理の条件を導出する。特に $ \sigma $ の可積分性と $ h(l) $ の増大度に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフト関数 $ \varphi $ がどのような条件下で励起ブラウン運動が再帰的または非再帰的となるか。
• RQ2 過程が正または負のほとんど確実な速度を示すのはいつか、そしてその速度値はどのように決定されるか。
• RQ3 過程が関数中心極限定理を満たすための条件は何か。
• RQ4 過程の挙動は $ \varphi(0,l) $ の積分にどのように依存するか。その減少または増大が果たす役割は何か。
• RQ5 非一様な $ \varphi $ へと結果を拡張できるか。部分的な条件は導出可能か。

主な発見

• 過程がほとんど確実に再帰的であるのは、かつてそのとき $ C_1^+ = C_1^- = +\infty $ であるときであり、ここで $ C_1^\pm = \int_0^\infty \exp\left[ \mp \int_0^x \frac{1}{l} \int_0^l \varphi(0,u)\,du\,dl \right] dx $ である。
• ほとんど確実に $ +\infty $ へ非再帰的になるのは $ C_1^+ < \infty $ のとき、$ -\infty $ へ非再帰的になるのは $ C_1^- < \infty $ のときである。
• 正の速度 $ v > 0 $ が存在するのは $ C_2^+ < \infty $ のときであり、$ v = C_1^+ / C_2^+ $ である。負の速度は $ C_2^- < \infty $ のときであり、$ v = -C_1^- / C_2^- $ である。
• 関数中心極限定理が成り立つのは、$ \int_0^\infty \varphi(0,l)\,dl \notin [-4,4] $ であるときであり、コロナリー1.3の条件のもとで成立する。
• $ h(l) \to h_\infty $ であるとき、CLT 条件は $ h_\infty > 4 $（$ \sigma $ が有限）のとき成立し、$ 0 < h_\infty < 4 $（$ \sigma $ が無限大）のときは失敗する。
• 測度 $ \mathsf{P}^\varphi $ の構成は、$ \varphi $ を切断関数 $ \varphi_n $ で近似することにより行われ、停止時刻の収束により一貫性が保証される。