[論文レビュー] Existence and uniqueness for backward stochastic differential equations driven by a random measure

Elena Bandini|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、補正項 $ dA_t \phi_t(dx) $ を持つ一般の整数値確率測度によって駆動される後向き確率微分方程式（BSDEs）の解の存在および一意性を確立する。ここで $ A $ は右連続で非減少かつ予測可能過程である。これは、$ A $ が連続的または決定論的であることを要求していた先行研究を拡張するものである。主な貢献は、well-posedness を保証するための新技術的条件 $ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 \leq 1 - \varepsilon $ の導入であり、これは文献に登場する反例を排除し、Piecewise Deterministic Markov Processes（PDMPs）を含む制御問題への応用を可能にする。

ABSTRACT

We study the following backward stochastic differential equation on finite time horizon driven by an integer-valued random measure $μ$ on $\mathbb R_+ imes E$, where $E$ is a Lusin space, with compensator $ν(dt,dx)=dA_t\,ϕ_t(dx)$: \[ Y_t = ξ+ \int_{(t,T]} f(s,Y_{s-},Z_s(\cdot))\, d A_s - \int_{(t,T]} \int_E Z_s(x) \, (μ-ν)(ds,dx),\qquad 0\leq t\leq T. \] The generator $f$ satisfies, as usual, a uniform Lipschitz condition with respect to its last two arguments. In the literature, the existence and uniqueness for the above equation in the present general setting has only been established when $A$ is continuous or deterministic. The general case, i.e. $A$ is a right-continuous nondecreasing predictable process, is addressed in this paper. These results are relevant, for example, in the study of control problems related to Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMPs). Indeed, when $μ$ is the jump measure of a PDMP, then $A$ is predictable (but not deterministic) and discontinuous, with jumps of size equal to 1.

研究の動機と目的

• 確率測度によって駆動される後向き確率微分方程式（BSDEs）の存在および一意性を、補正項に予測可能で右連続かつ非減少な過程 $ A $ を含む場合に確立すること。これは、$ A $ が連続的または決定論的であることを仮定していた先行研究を一般化するものである。
• 予測可能で不連続な $ A $ を含む一般の場合における well-posedness の未解決問題を解決すること。これは、Piecewise Deterministic Markov Processes（PDMPs）の文脈で自然に生じる。
• 存在および一意性を保証するための新技術的条件—$ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 \leq 1 - \varepsilon $—を特定・導入し、既知の文献における反例と区別すること。
• 解のリプシッツ定数 $ L_y $ に対する制約が唯一の制限であることを示し、$ Z $ に対する $ L_z $ については条件が不要であることを示すこと。これは、PDMPs を含む制御問題において極めて重要である。

提案手法

• 本稿は、有限時間区間 $[0,T]$ 上で定義された BSDE を、$ \mathbb{R}_+ \times E $ 上の確率測度 $ \mu $ によって駆動するものとしてモデル化する。ここで $ E $ は Lusin 空間であり、補正項は $ \nu(dt,dx) = dA_t \phi_t(dx) $ と表され、$ A $ は予測可能で右連続かつ非減少な過程であり、$ \Delta A_t \leq 1 $ を満たす。
• フィルトレーションが $ \mu $ によって生成される自然な右連続フィルトレーションであると仮定し、確率測度 $ \mu $ に対するマルティンゲール表現定理を用いる。また、補正項を $ dA_t \phi_t(dx) $ に分解する。
• 解は適切なバナッハ空間上の過程の固定点定理を用いて構成され、主な革新は BSDE のジャンプ成分を制御するための修正リプシッツ定数 $ \hat{L}_{z,s} $ の導入である。
• 証明は、特に $ A $ のジャンプ構造の詳細な分析に依存しており、特に $ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 \leq 1 - \varepsilon $ という条件が、$ A $ の不連続性にもかかわらず収縮写像原理が適用可能であることを保証する。
• 補正項の連続的および不連続的成分をそれぞれ $ \nu^c $ および $ \nu^d $ と分離し、$ \nu^d $ が $ \Delta A_t \phi_t^d(dx) $ と書けること（$ \phi_t^d(E) = 1 $）を用いることで、ジャンプサイズの一貫性のある取り扱いが可能になる。
• 核心的な不等式 $ \frac{L_y^2}{\hat{L}_{z,s}^2} + \frac{1}{c_s} < H_s(\hat{L}_{z,s}^2) $ が導出され、主条件のもとで有界であることが示され、収縮写像の議論が成立することが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補正項に予測可能で右連続かつ非減少な過程 $ A $ を含む場合、確率測度によって駆動される後向き確率微分方程式（BSDEs）の存在および一意性を確立できるか？ これは、$ A $ が連続的または決定論的であることを仮定していた先行研究を一般化するものである。
• RQ2 予測可能で不連続な $ A $ を含む一般の場合において、well-posedness を保証するための追加技術的条件は何か？ そして、これまではどのような仮定と異なるのか？
• RQ3 $ Z $ に対するリプシッツ定数 $ L_z $ に条件がないことにより、PDMPs を含む制御問題への応用範囲が広がるか？
• RQ4 提案された条件 $ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 \leq 1 - \varepsilon $ は、文献に登場する既知の存在反例（例えば [7] の 4.3 節）をどのように排除するのか？
• RQ5 マルティンゲール表現定理と $ \nu^d(dt,dx) = \Delta A_t \phi_t^d(dx) $ が成り立つ限り、非離散的確率測度 $ \mu $ に対しても結果を拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、$ A $ が右連続で非減少かつ予測可能な過程である場合、補正項 $ dA_t \phi_t(dx) $ を持つ確率測度によって駆動される BSDE に対して、条件 $ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 \leq 1 - \varepsilon $（$ \varepsilon \in (0,1) $）の下で存在および一意性を確立する。これは主たる技術的貢献である。
• 条件 $ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 \leq 1 - \varepsilon $ が、反例を回避するために必要であることが示された。具体的には、[7] の反例では $ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 = 2 $ であり、この条件を満たさないため、存在性が成立しない。
• PDMPs では、$ A $ が予測可能で不連続であり、ジャンプサイズが 1 であるため、条件は $ L_y < 1/\sqrt{2} $ に簡略化され、$ Y $ に関する生成子のリプシッツ定数に対する明示的かつ単純な制約となる。
• 本稿は、$ Z $ に関するリプシッツ定数 $ L_z $ に対して条件が不要であることを示しており、これは PDMPs を含む制御理論への応用において顕著な利点である。
• 証明手法は頑健であり、$ \phi_t^d(E) = 1 $ かつ $ \nu^d(dt,dx) = \Delta A_t \phi_t^d(dx) $ が成り立つ限り、非離散的確率測度 $ \mu $ に対しても拡張可能である。また、マルティンゲール表現定理が成り立つことが前提となる。
• 本稿は、$ A $ が決定論的であることを仮定していた先行研究 [6] を一般化し、$ A $ が予測可能にさえなれば、同じ条件 $ 2L_y^2 |\Delta A_t|^2 \leq 1 - \varepsilon $ が十分であることを示した。これは、根本的に異なる証明戦略を必要とする。