[論文レビュー] Existence and uniqueness of (infinitesimally) invariant measures for second order partial differential operators on Euclidean space

Haesung Lee, Gérald Trutnau|arXiv (Cornell University)|May 20, 2021

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ひとこと要約

この論文は、R^d 上の第二順位楕円型微分作用素に対して、係数の正則性が低いという仮定のもとで、(無限小的に)不変測度が存在し、一意であるための十分条件を確立する。再帰性の仮定のもとで、関連するハント過程の再帰性が、無限小不変測度の一意性および局所有限測度における不変測度の存在・一意性を示し、再帰性の解析的基準を用いて不変性と収束性、L^r-一意性、および半群性質を結びつける。

ABSTRACT

We consider a locally uniformly strictly elliptic second order partial differential operator in $\mathbb{R}^d$, $d\ge 2$, with low regularity assumptions on its coefficients, as well as an associated Hunt process and semigroup. The Hunt process is known to solve a corresponding stochastic differential equation that is pathwise unique. In this situation, we study the relation of invariance, infinitesimal invariance, recurrence, transience, conservativeness and $L^r$-uniqueness, and present sufficient conditions for non-existence of finite infinitesimally invariant measures as well as finite invariant measures. Our main result is that recurrence implies uniqueness of infinitesimally invariant measures, as well as existence and uniqueness of invariant measures, both in subclasses of locally finite measures. We can hence make in particular use of various explicit analytic criteria for recurrence that have been previously developed in the context of (generalized) Dirichlet forms and present diverse examples and counterexamples for uniqueness of infinitesimally invariant, as well as invariant measures and an example where $L^1$-uniqueness fails for one infinitesimally invariant measure but holds for another and pathwise uniqueness holds. Furthermore, we illustrate how our results can be applied to related work and vice versa.

研究の動機と目的

• R^d 上の係数の正則性が低い第二順位楕円型作用素に対して、(無限小的に)不変測度の存在および一意性の条件を確立すること。
• このような作用素および関連する半群の文脈において、再帰性、非再帰性、収束性、およびL^r-一意性の相互作用を明確にすること。
• 有限不変測度または無限小不変測度の非存在のための十分条件を提供すること。
• 再帰性の解析的基準を用いて、強いフレッリーや既約性の仮定がない場合の不変測度の存在および一意性を導く方法を示すこと。
• 確率的解析への応用、特にパスごとの一意性およびマーチングレ問題と理論を結びつけること。

提案手法

• 係数 A = σσ^T および漂流項 G を用いて定義される第二順位楕円型作用素 L を分析し、局所的に一様に強楕円的で、正則性が低い（例えば、局所ホルダー連続）という仮定のもとで扱う。
• 仮定 (H) のもとで、局所有限な無限小不変測度 µ = ρdx の存在を用い、L^1(R^d, μ) 上での部分マルコフ的C0-半群 (T^μ_t) の構成を行う。
• (T^μ_t) の正則化を用いてハント過程 M を構成し、M が爆発しないことと (T^μ_t) が収束的であることとは同値であることを示す。
• クリロフ＝ボゴリューボフ法やドゥーブの定理などの確率的道具を用いて、不変測度の存在および一意性を導出する。
• 時間に依存する伊藤の公式と単調クラスの議論を用いて、収束的である限り、半群 (T^μ_t) と (P^μ_t) が同値であることを証明する。
• 具体的な収束性の基準（例えば、条件 (35)）を用いて、係数の解析的バインドを、関連するスデのパスの性質と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^d 上の第二順位楕円型作用素が、有限な無限小不変測度をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 関連するハント過程の再帰性は、無限小不変測度および不変測度の一意性とどのように関係するか？
• RQ3 有限不変測度または無限小不変測度の非存在を保証する条件は何か？
• RQ4 パスごとの一意性が成り立つにもかかわらず、ある無限小不変測度では L^1-一意性が成り立たないが、別の測度では成り立つような状況はどのような場合か？
• RQ5 強いフレッリーや既約性の仮定がない状況で、再帰性の解析的基準をどのように用いて不変測度の存在および一意性を導けるか？

主な発見

• 作用素 (T^μ_t) に関連するハント過程の再帰性は、局所有限測度の範囲で無限小不変測度の一意性を示す。
• 再帰性のもとで、局所有限測度のクラスにおいて、不変測度の存在および一意性が両方成立する。
• 有限不変測度の非存在のための十分条件を提示し、特に漂流項および拡散係数がゆっくりと増加する場合に特に有効である。
• 本論文では、パスごとの一意性が成り立つにもかかわらず、ある無限小不変測度では L^1-一意性が成り立たないが、別の測度では成り立つ例を構成する。
• 半群 (T^μ_t) が収束的であることと、関連するハント過程 M が爆発しないことは同値であり、収束性は M がパスごとにSDE (1) を弱く解くことを示す。
• G の成分が局所ホルダー連続で、(T^μ_t) が収束的である場合、半群 (T^μ_t) は [23, 第2.2章] および [27, 第4節] で構成された強フレッリーセミ群 (T(t)) と一致する。これにより、解析的および確率的アプローチの橋渡しがなされる。