[論文レビュー] Existence of hypersurfaces with prescribed mean curvature I - Generic min-max

Xin Zhou, Jonathan J. Zhu|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 39被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、次元 $3 \leq n+1 \leq 7$ の閉リーマン多様体上において、非自明で滑らかで閉じた超曲面が、指定された平均曲率 $h$ をもつことを、一般の最小最大化構成を用いて確立する。滑らかで一般の関数（ミョルス関数や解析関数を含む）に対して、最小化の符号を仮定しないまま、滑らかでほとんど埋め込まれた超曲面（重複度1）または整数重複度を持つ最小超曲面を生成する。

ABSTRACT

We prove that, for a generic set of smooth prescription functions $h$ on a closed ambient manifold, there always exists a nontrivial, smooth, closed hypersurface of prescribed mean curvature $h$. The solution is either an embedded minimal hypersurface with integer multiplicity, or a non-minimal almost embedded hypersurface of multiplicity one. More precisely, we show that our previous min-max theory, developed for constant mean curvature hypersurfaces, can be extended to construct min-max prescribed mean curvature hypersurfaces for certain classes of prescription function, including smooth Morse functions and nonzero analytic functions. In particular we do not need to assume that $h$ has a sign.

研究の動機と目的

• 閉リーマン多様体上での非定数指定平均曲率（PMC）をもつ閉超曲面のグローバル存在問題を解決すること。
• 定数平均曲率超曲面の最小最大化理論を、より一般の非定数関数 $h$ を指定する場合に拡張すること。
• 一般の滑らかな関数 $h$ の集合に対して、非自明で滑らかでほとんど埋め込まれたPMC超曲面が存在することを確立すること。
• 非定数 $h$ の下でも、定数平均曲率の場合と同様に、解の正則性（特にcodimension-1の接触集合）が保たれることを示すこと。
• 直接的な $\mathcal{A}^h$-汎関数の最小化に失敗するのを回避する、非自明な臨界点（$\emptyset$ や $M$ など）を避ける強固な最小最大化枠組みを用いて、問題を克服すること。

提案手法

• 定数平均曲率超曲面の最小最大化理論を、指定平均曲率設定に適応する。$\mathcal{A}^h = \text{Area} - \text{Vol}_h$ を関連する汎関数として扱う。
• $\mathbf{F}$-距離と整数型コーシー・カレント上の平坦位相を用いて、最小化列の収束性と正則性を分析する。
• 空間 $\mathcal{C}(M)$ のCaccioppoli集合におけるスイープアウトのホモトピー類を構成し、$\mathbf{F}$-距離に関して連続性を保証する。
• 補間補題（補題A.1）を適用して、経路に沿った $\mathcal{A}^h$-汎関数の制御を行い、変形中における汎関数と質量の一様有界性を保証する。
• ベクトル場 $\tilde{X}_i(x)$ を用いた流れに基づく補間プロセスにより、初期状態を変形し、$\mathcal{A}^h$-値が元の値に近いまま保たれることを保証する。
• ミョルス関数で、ゼロ集合が有限次に消失する平均曲率をもつ関数の集合 $\mathcal{S}$ が $C^\infty(M)$ で開かつ稠密であるという事実を活用し、結果の一般性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小最大化法を、非定数指定平均曲率 $h$ をもつ閉超曲面の構成に拡張できるか？
• RQ2 どのクラスの指定関数 $h$ に対して、最小最大化構成が非自明で滑らかでほとんど埋め込まれたPMC超曲面を生成するか？
• RQ3 非定数 $h$ の下でも、定数平均曲率の場合と同様に、解の正則性（例：codimension-1の接触集合）が保たれるか？
• RQ4 $h$ の符号が変化する場合でも、$h$ の一般の集合に対して、このような超曲面の存在を保証できるか？
• RQ5 直接的な最小化に失敗する場合に、最小最大化により $\mathcal{A}^h$-汎関数が非自明な臨界点をもつことを保証できるか？

主な発見

• 一般の開かつ稠密な集合 $\mathcal{S} \subset C^\infty(M)$ の滑らかな指定関数 $h$ に対して、非自明で滑らかで閉じた、ほとんど埋め込まれた超曲面 $\Sigma^n$ が、指定平均曲率 $h$ をもつ。
• 構成された超曲面 $\Sigma$ は、整数重複度を持つ埋め込まれた最小超曲面、または重複度1の非最小でほとんど埋め込まれた超曲面であり、接触集合がcodimension-1をなす。
• $\mathcal{S}$ には、ゼロ集合が有限次に消失する平均曲率をもつすべての滑らかなミョルス関数と、実解析的多様体上での非ゼロ解析関数が含まれる。
• 最小最大化構成は、$\emptyset$ や $M$ のような非自明でない臨界点を効果的に回避し、解の非自明性を保証する。
• 正則性結果（特にcodimension-1の接触集合）は、非定数 $h$ の下でも、定数平均曲率の場合と同一である。
• 証明は、$\mathcal{A}^h$-値と $\mathbf{F}$-収束を維持する新しい補間補題および流れに基づく変形技術に依存している。