[論文レビュー] Existence of weak martingale solution of Nematic Liquid Crystals driven by Pure Jump Noise

Zdzisław Brzeźniak, Utpal Manna+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元の領域において、純ジャンプノイズによって駆動されるネマチック液晶の確率的モデルに対して、弱マルティングール解の存在を確立する。ファエド＝ガレルキン近似、コンパクトネス法、および非メトリック空間におけるジャクブォフスキのスコロホド表現定理を用いて、2次元の場合に経路ごとの一意性を証明し、強い解を構成する。これは、エリクセン＝レズリー系における非線形性および制約（|d|² = 1）を、リーヴィノイズ下で取り扱うものである。

ABSTRACT

In this work we consider a stochastic evolution equation which describes the system governing the nematic liquid crystals driven by a pure jump noise. The existence of a martingale solution is proved for both 2D and 3D cases. The construction of the solution is based on the classical Faedo-Galerkin approximation, compactness method and the Jakubowski's version of the Skorokhod representation theorem for non-metric spaces. We prove the solution is pathwise unique and further establish the existence of a strong solution in the 2D case.

研究の動機と目的

• 純ジャンプリーヴィノイズ下でのネマチック液晶の確率的流体力学的モデルに対して、弱マルティングール解の存在を確立すること。
• 流体速度と配向場のダイナミクスの間の非線形結合、特に制約 |d|² = 1 および勾配非線形項 |∇d|²d が引き起こす課題に対処すること。
• ジャクブォフスキのスコロホド表現定理を用いて、タイトネスの議論において非メトリック確率空間への解析的枠組みの拡張を図ること。
• 2次元の場合に経路ごとの一意性を証明し、ヤマダ＝ワタナベ型の議論により強い解の存在を示すこと。これにより、弱解を越えた解の概念を強化する。

提案手法

• 基礎となるヒルベルト空間の有限次元部分空間上で近似解を構成するため、ファエド＝ガレルキン法を用いる。
• 配向場およびその勾配に関連する非線形項を制御するため、事前エネルギー推定を適用する。
• アルドゥスの条件およびタイトネス基準に基づくコンパクトネスの議論を用いて、収束する部分列の極限を抽出する。
• 純ジャンプノイズに起因する非メトリック位相における収束を扱うために、ジャクブォフスキのスコロホド表現定理のバージョンを適用する。
• 弱収束の技術を用いて、新たな確率空間上での近似過程の収束を制限過程へと示す。
• 非線形項、特に |d|^{2N}d 項を制御するため、ガリャルディ・ニレングラフおよびホルダーの不等式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純ジャンプリーヴィノイズ下で、2次元および3次元の両方において、ネマチック液晶系の弱マルティングール解は存在するか？
• RQ2 古典的なファエド＝ガレルキン法およびコンパクトネス法は、純ジャンプノイズによって生じるマルティングール構造の欠如を扱うために適応可能か？
• RQ3 解は経路ごとに一意であるか？強い解が存在する条件は何か？
• RQ4 ポアソン確率測度に起因する非メトリック空間におけるタイトネスおよび収束をどのように確立できるか？
• RQ5 非線形項 |∇d|²d は、確率的摂動下での系の正則性および可解性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 純ジャンプリーヴィノイズ下で、2次元および3次元のネマチック液晶モデルに対して、弱マルティングール解の存在が証明された。
• 2次元系において経路ごとの一意性が確立され、ヤマダ＝ワタナベ型の議論により強い解が構成可能となった。
• 解はほとんど確実に制約 |d|² = 1 を満たすことが示され、配向場の物理的解釈が保たれている。
• コンパクトネス法とジャクブォフスキのスコロホド表現定理を組み合わせることで、 càdlàg 空間における収束の非メトリック性を効果的に扱えた。
• ガリャルディ・ニレングラフおよびホルダーの不等式を用いて、事前推定が導かれ、|d|^{2N}d および ∇d ⊙ ∇d 項を含む非線形項が制御された。
• エネルギー推定およびタイトネス基準により、近似列の分布が相対的コンパクトであることが保証され、解への分布収束が導かれた。