[論文レビュー] Existence results in dislocation based rate-independent isotropic gradient plasticity with kinematical hardening and plastic spin: The case with symmetric local backstress

François Ebobisse, Patrizio Neff+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2015

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 32被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、凸解析と変分不等式を用いて、速度に依存しない、等方的勾配塑性理論モデルの存在結果を初めて確立した。このモデルは運動的硬化、塑性スピン、対称的局所バックストレインを含む。主な貢献は、非対称な塑性歪みの回転（curl）に依存する欠陥エネルギーを持つ場合に、適切な定式化が保証されるための、非整合テンソル場における新しいコーナ型不等式の確立である。

ABSTRACT

In this paper we use convex analysis and variational inequality methods to establish an existence result for a model of infinitesimal rate-independent gradient plasticity with kinematic hardening and plastic spin, in which the local backstress tensor remains symmetric. The model features a defect energy contribution which is quadratic in the dislocation density tensor Curl p, giving rise to nonlocal non-symmetric kinematic hardening. Use is made of a recently established Korn's type inequality for incompatible tensor fields. The solution space for the non-symmetric plastic distortion is naturally H(Curl) together with suitable tangential boundary conditions on the plastic distortion. Connections to other models are established as well.

研究の動機と目的

• 速度に依存しない勾配塑性理論モデルに、塑性スピンと運動的硬化を組み込んだ場合の数学的解の存在を確立すること。
• 非対称な塑性歪みと対称的局所バックストレインを含むモデルの適切な定式化を扱い、物理的に意味のあるが数学的に困難な問題に取り組むこと。
• ガーティン＝アナンダモデルを、塑性スピンと対称的バックストレインを含む形に拡張し、熱力学的整合性と数学的取り扱いやすさを保証すること。
• エネルギー的長尺度と対称的バックストレインが併存することで解の適切な定式化が達成されることを示し、分散的長尺度のみに依存するモデルとは対照的である。
• エネルギー最小化と変分原理を用いて、提案モデルをミクロモーフィックおよび無渇性形式と結びつけること。

提案手法

• 非対称な塑性歪みのためのH(Curl)空間上でのエネルギー最小化に基づく変分不等式枠組みを用いて問題を定式化する。
• 欠陥エネルギー項を、回転（curl）pに比例する不純度密度テンソルの二乗として導入し、非局所的かつ非対称的な運動的硬化を誘発する。
• 非整合テンソル場における新しいコーナ型不等式を適用し、非対称な塑性歪みのH(Curl)ノルムを制御する。
• 塑性歪みに接線型境界条件を課す：∂Ω上でp × n = 0 および ∂Ω \ Γ 上で(Curl p) × n = 0 であり、物理的・数学的整合性を保証する。
• 全エネルギーの第一変分から微小平衡方程式を導出し、コーシー応力、対称的バックストレイン、および曲率項を含む関係式を得る。
• エネルギー的極限（ℓ = 0）において、提案モデルが無渇性Gurtin-Anandモデルと等価であることを示し、従来未解決であった場合に対しても解の存在結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 速度に依存しない勾配塑性理論モデルに、塑性スピンおよび対称的局所バックストレインを含めた場合、数学的に適切な定式化が可能か？
• RQ2 エネルギー的長尺度と対称的バックストレインの相乗作用が、モデルの適切な定式化に与える影響は何か？
• RQ3 非整合テンソル場におけるコーナ型不等式が、解の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 提案モデルは、無渇性およびミクロモーフィック形式の勾配塑性理論とどのように関係しているか？
• RQ5 線形運動的硬化を伴う、Gurtin-Anandモデルの純粋エネルギー的版は、変分法を用いて厳密に取り扱えるか？

主な発見

• 本稿では、変分不等式法を用いて、速度に依存しない等方的勾配塑性理論モデルに、塑性スピンおよび対称的局所バックストレインを含む場合の弱解の存在を証明した。
• 非対称な塑性歪みのH(Curl)ノルムを制御するための、非整合テンソル場における新しいコーナ型不等式を確立し、適用した。この不等式により、強制性（coercivity）が保証された。
• モデルの適切な定式化は、エネルギー的長尺度と対称的バックストレインの併存に依存しており、分散的長尺度のみに依存するモデルとは対照的である。
• エネルギー的極限（ℓ → 0）において、提案モデルとの一致を示し、線形運動的硬化を伴うGurtin-Anandモデルの純粋エネルギー的版に対しても解の存在が示された。
• エネルギー最小化から導かれた微小平衡方程式は、応力平衡および曲率駆動型バックストレインを再現し、ミクロモーフィックおよび勾配塑性理論の枠組みと整合的である。
• pおよびCurl pに課した境界条件は物理的に意味があり、変分定式化とも数学的に整合的であり、恣意的な仮定を避けることができた。