[論文レビュー] Exotic automorphisms of the Schouten algebra of polyvector fields

Sergei Merkulov|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2008

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 14被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、上半平面内の $ n $ 個の点の配置空間の新しいコンパクト化 $\widehat{C}_{n,0}$ を用いて、$\mathbb{R}^d$ 上の多重量場のシューテン代数の異なった ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-自己同型を構成する。自己同型は、$\widehat{C}_{2,0}$ 上の閉じた最小1形式 $\omega$ の引き戻しを、$n$ 頂点、$2n-2$ 辺を持つグラフの和で重み付けした $\widehat{C}_{n,0}$ 上の積分により定義され、シューテン括弧の普遍的かつ次元に依存しない変形をもたらす。

ABSTRACT

Using a new compactification of the (braid) configuration space of n points in the upper half plane we construct a family of exotic Lie-infinity automorphisms of the Schouten algebra of polyvector fields on an affine space depending on a Kontsevich type propagator.

研究の動機と目的

• 上半平面内の $ n $ 個の異なる点の配置空間の新しいコンパクト化 $\widehat{C}_{n,0}$ を定義し、$ n \geq 3 $ のときコンツェビッチの元来のコンパクト化とは異なるものとする。
• ド・ラーム場理論とグラフに基づく積分を用いて、$\widehat{C}_{n,0}$ 上のシューテン代数の異なった自己同型と関係づける。
• 新しいコンパクト化を2色のdgホモトピー的operadとして幾何学的・operad的解釈を与える。
• コンツェビッチの形式的同型の結果を一般化し、新しい種類の伝搬関数とそれに対応する自己同型を導入する。
• シューテン代数の普遍的かつ次元に依存しない ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-自己同型の新しい族を構成する。

提案手法

• 上半平面内の $ n $ 点の配置空間の新しいコンパクト化 $\widehat{C}_{n,0}$ を導入し、半代数的構造と、$\widehat{C}_{2,0}$ への正規化された忘却写像を備える。
• $\mathfrak{G}_{n,2n-2}$ に属する各グラフ $\Gamma$ に対して、重み $\mathrm{C}_\Gamma$ を積分 $\int_{\widehat{C}_{n,0}} \bigwedge_{e \in \mathrm{Edges}(\Gamma)} \frac{{\mathfrak{p}}_e^*(\omega)}{2\pi}$ として定義する。ここで $\omega$ は $\widehat{C}_{2,0}$ 上の閉じた最小1形式で、境界で所定の振る舞いを示す。
• $\Phi_\Gamma$ を $\Gamma$ からテンソル積とシューテン括弧を用いた簡単な手続きで得られる線形写像とし、自己同型の成分 $F_n^{\mathcal{L}\mathrm{ie}}$ を $\sum_{\Gamma \in \mathfrak{G}_{n,2n-2}} \mathrm{C}_\Gamma \Phi_\Gamma$ として定義する。
• 重みは、角関数とゲージ同値な伝搬関数に基づく $\overline{C} \sqcup \widehat{C}$ 上のド・ラーム場理論から得られ、ホモトピー同値性と準同型性を保証する。
• $\widehat{C}_{n,0}$ の面複体は、${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-代数の ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-準同型の2色のdgoperadとして自然に構造を持つ。
• グラフ族を $2n-3$ 辺に拡張し、異なるコンパクト化を用いることで、${\mathcal{L}}eib_{\infty}$-自己同型への一般化が可能となり、既知の結果（例えばショイキチの構成）が再現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上半平面内の配置空間の新しいコンパクト化は、シューテン代数の多重量場に対する新しい ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-自己同型をもたらすか？
• RQ2 自己同型式におけるグラフ寄与の重みは、$\widehat{C}_{2,0}$ 上の閉じた最小1形式 $\omega$ の選択にどのように依存するか？
• RQ3 新しいコンパクト化 $\widehat{C}_{n,0}$ の背後にあるoperad的構造は何か？ そして ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-準同型とどのように関係するか？
• RQ4 グラフ族とコンパクト化を変更することで、この構成を ${\mathcal{L}}eib_{\infty}$-自己同型に一般化できるか？
• RQ5 正規化された忘却写像は、$\widehat{C}_{n,0}$ と $\widehat{C}_{2,0}$ の関係をどのように定義し、重み $\mathrm{C}_\Gamma$ の定義を可能にするか？

主な発見

• 本稿は、次元 $d$ に依存しない普遍的な ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-自己同型の族を、$\mathbb{R}^d$ 上のシューテン代数に対して構成する。最初の成分 $F_1^{\mathcal{L}\mathrm{ie}}$ は恒等写像に等しい。
• 自己同型式における重み $\mathrm{C}_\Gamma$ は、新しいコンパクト化 $\widehat{C}_{n,0}$ 上の積分として与えられ、具体的には $\int_{\widehat{C}_{n,0}} \bigwedge_{e \in \mathrm{Edges}(\Gamma)} \frac{{\mathfrak{p}}_e^*(\omega)}{2\pi}$ である。ここで $\omega$ は $\widehat{C}_{2,0}$ 上の閉じた最小1形式で、境界に標準的体積形式を持つ。
• $\widehat{C}_{n,0}$ は $n \geq 3$ のすべての $n$ に対してコンツェビッチの $\overline{C}_{n,0}$ とは異なり、その面複体は自然に ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-代数の ${\mathcal{L}}ie_{\infty}$-準同型の2色のdgoperadとしての構造を持つ。
• この構成は、対称化されたコンツェビッチ伝搬関数と (反) 伝搬関数を用いた明示的例により、恒等写像にホモトープでない異なった自己同型をもたらす。
• グラフ族を $2n-3$ 辺に拡張し、異なるコンパクト化を用いることで、${\mathcal{L}}eib_{\infty}$-自己同型への一般化が可能となり、ショイキチの構成などの既知の結果が再現される。
• 本稿は、$\overline{C} \sqcup \widehat{C}$ 上の任意のド・ラーム場理論がシューテン代数の異なった自己同型を定義することを確立し、重み $c_\Gamma$ は式 (32) の積分公式で与えられる。