[論文レビュー] Explicit Coleman integration for hyperelliptic curves

Jennifer S. Balakrishnan, Robert Bradshaw+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$p > 2$ に対して良い還元を持つ $Π_p$ 上の超楕円曲線に対して、Frobeniusの可換性とde Rhamコホモロジーの計算を活用して、単一 Coleman積分を計算するためのアルゴリズムを提示する。この手法により、Sageにおける明示的 $p$-進積分が可能となり、有理点、$p$-進高さ、$p$-進正規化に関する応用が得られる。

ABSTRACT

Coleman's theory of p-adic integration figures prominently in several number-theoretic applications, such as finding torsion and rational points on curves, and computing p-adic regulators in K-theory (including p-adic heights on elliptic curves). We describe an algorithm for computing Coleman integrals on hyperelliptic curves, and its implementation in Sage.

研究の動機と目的

• 超楕円曲線に対して、$\mathbb{C}_p$ 上で $p > 2$ かつ良い還元をもつ場合の単一 Coleman 積分を計算するためのアルゴリズムを開発すること。
• そのアルゴリズムを実用的計算のための Sage コンピュータ代数システムに実装すること。
• $p$-進高さ、Chabautyの方法による有理点の計算、$p$-進正規化といった算術幾何への応用を可能にすること。
• これまでの実装が主に genus 0 に限られていた $p$-進積分の範囲を拡張すること。
• 高 genus の曲線における反復 Coleman 積分および非アーベル的 Chabauty 法への基盤を築くこと。

提案手法

• Frobenius可換性に基づく Coleman の $p$-進積分理論を活用して、超楕円曲線上の積分を定義する。
• 第3著者の、超楕円曲線の de Rham コホモロジーにおける Frobenius 演算子の計算アルゴリズムを活用する。
• Frobenius可換性とコホモロジー的データから導かれる線形方程式系の解として Coleman 積分を表現する。
• 除法 $D_1$ に関連する微分形式 $\omega_{D_1}$ を構成し、Coleman-Gross の $p$-進高さペアリングを $h_p(D_1,D_2) = \int_{D_2} \omega_{D_1}$ によって計算する。
• $p$-進展開と $\mathbb{Q}_p$ 上の線形代数を用いて、Sage にアルゴリズムを実装する。
• 有理点における積分の計算と、Chabauty 型手法における消滅条件の検証に本手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Frobenius可換性とコホモロジー的データを用いて、超楕円曲線上の Coleman 積分をどのように明示的に計算できるか。
• RQ2 このような積分の計算複雑度は何か。また、コンピュータ代数システムへの実装を最適化するにはどうすればよいか。
• RQ3 明示的 Coleman 積分を用いて、超楕円曲線のヤコビアン上の $p$-進高さを計算できるか。
• RQ4 Coleman 積分は、高 genus の曲線における有理点を求める Chabauty の方法をどの程度向上できるか。
• RQ5 反復 Coleman 積分はどのように計算され、非アーベル的 Chabauty 法および $p$-進 $K$-理論にどのように応用できるか。

主な発見

• 本アルゴリズムにより、$p > 2$ に対して良い還元を持つ $Π_p$ 上の超楕円曲線に対して、単一 Coleman 積分の明示的計算が可能になった。
• Sage における実装により、有理点における積分の数値的検証が可能となり、たとえば genus 3 の曲線において $Q = (3,6)$ のとき $\int_{\infty}^{Q} \omega = 0$ となることが確認された。
• $h_p(D_1,D_2) = \int_{D_2} \omega_{D_1}$ を用いて $p$-進高さペアリングを明示的に計算でき、$p$-進展開が提供された。
• 本アプローチにより、$p$-進正規化および $p$-進多対数関数の計算が可能となり、将来的な数値的探索の可能性を秘めている。
• 本手法により、有理点の特定に必要な残渣領域内での積分計算が可能となり、Chabauty の方法の実行可能性が示された。
• 反復積分およびより大きな素数への拡張は理論的に可能であり、Harvey の改善された $p$-進アルゴリズムを活用すれば特に有効である。