[論文レビュー] Explicit Quaternionic contact structures, Sp(n)-structures and Hyper Kaehler metrics

Luis Carlos de Andrés, Marisa Fernández+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2009

Advanced Differential Geometry Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、 torsion がゼロでない場合を含めた左不変なクaternion的接触構造を Lie 群上に明示的に構成し、四元数的ヘイセンベルグ群と局所的に同型でない四元数的接触多様体の存在を示している。さらに、(4n+3)-次元多様体上に Sp(n)-hypo 構造を実現する明示的なハイパーケーラー計量を生成する方法を提示している。

ABSTRACT

We construct explicit left invariant quaternionic contact structures on Lie groups with zero and non-zero torsion for which the quaternionic contact-conformal curvature tensor does not vanish, thus showing the existence of quaternionic contact manifolds not locally isomorphic to the quaternionic Heisenberg group. We present a left invariant quaternionic contact structure on a seven dimensional non-nilpotent Lie group, and show that this structure is locally quaternionic contact conformally equivalent to the flat quaternionic contact structure on the quaternionic Heisenberg group. We outline a construction to obtain explicit hyper Kaehler metrics defining Sp(n)-hypo structures on (4n+3)-dimensional manifolds.

研究の動機と目的

• 四元数的ヘイセンベルグ群と局所的に同型でない四元数的接触多様体の存在を示すこと。
• 非消滅する四元数的接触-自己同型的曲率を有する Lie 群上に明示的な左不変な四元数的接触構造を構成すること。
• 左不変な四元数的接触構造を備えた七次元の非冪等 Lie 群を提示すること。
• 構築された構造と四元数的ヘイセンベルグ群上の平坦構造との間の局所的四元数的接触-自己同型的同倣関係を確立すること。
• (4n+3)-次元多様体上に Sp(n)-hypo 構造を実現する明示的なハイパーケーラー計量を生成する一般構成法を開発すること。

提案手法

• Lie 群上の左不変なテンソル場を用いて四元数的接触構造を定義する。
• 四元数的接触-自己同型的曲率テンソルを分析し、構築された例における非消滅曲率を検証する。
• 七次元の非冪等 Lie 群上に特定の左不変な四元数的接触構造を構築する。
• 自己同型的同倣技術を用いて、新しい構造と四元数的ヘイセンベルグ群上の平坦構造を比較する。
• 表現論的および幾何的手法を用いて、Sp(n)-hypo 構造からハイパーケーラー計量を導出する。
• Lie 群の内在的幾何的性質および曲率不変量に依拠して、構成の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロの torsion および非消滅する四元数的接触-自己同型的曲率を有する Lie 群上に、明示的な左不変な四元数的接触構造を構成できるか？
• RQ2 四元数的ヘイセンベルグ群と局所的に同型でない四元数的接触多様体は存在するか？
• RQ3 構築された七次元の非冪等 Lie 群は、四元数的ヘイセンベルグ群上の平坦構造と局所的に自己同型的同倣である左不変な四元数的接触構造を有するか？
• RQ4 一般構成法により、(4n+3)-次元多様体上に Sp(n)-hypo 構造を実現する明示的なハイパーケーラー計量を生成できるか？
• RQ5 曲率は、標準的な平坦モデルとは異なる四元数的接触構造を区別するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、非消滅する四元数的接触-自己同型的曲率を有する七次元の非冪等 Lie 群上に左不変な四元数的接触構造を構築した。
• この構造が、四元数的ヘイセンベルグ群上の平坦構造と局所的に四元数的接触-自己同型的同倣であることが示された。
• このような構造の存在により、すべての四元数的接触多様体が四元数的ヘイセンベルグ群と局所的に同型であるとは限らないことが確認された。
• 構築された例は、四元数的接触-自己同型的曲率テンソルが非ゼロであっても、平坦モデルと自己同型的同倣である可能性があることを示している。
• 一般的手法が、(4n+3)-次元多様体上に Sp(n)-hypo 構造を実現する明示的なハイパーケーラー計量を生成するための枠組みとして提示された。
• 結果として、四元数的ヘイセンベルグ群の対称的モデルを超えた四元数的接触構造の既知の例のクラスが拡張された。