[論文レビュー] Explicit solutions for a series of classical optimization problems with 2-dimensional control via convex trigonometry

A. A. Ardentov, L. V. Lokutsievskiy+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2020

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、凸三角関数を用いて、任意の凸コンパクト制御集合 Ω に対して一様に取り扱える広範な2次元最適制御問題の明示的解を提示する。双曲的Finsler幾何における測地線、単模3次元リー群上の部分Finsler測地線、転がり玉問題、一般化されたヨット問題、動的運動問題の閉形式解を導出し、一様な解析的枠組みによって多様な制御問題を統一的に扱う。

ABSTRACT

We consider a series of optimal control with 2-dimensional control lying in an arbitrary convex compact set $\Omega$. We write explicitly solutions to these by using machinery of convex trigonometry, which allows us to do this uniformly and independently on the shape of $\Omega$. The paper includes (i) geodesics in the Finsler problem on the Lobachevsky hyperbolic plane; (ii) left-invariant sub-Finsler geodesics on all unimodular 3D Lie groups ($\mathrm{SU}(2)$, $\mathrm{SL}(2)$, $\mathrm{SE}(2)$, $\mathrm{SH}(2)$); (iii) the problem of rolling ball on a plane with distance function given by $\Omega$; (iv) a series of yacht problems generalizing Euler's elastic problem, Markov-Dubins problem, Reeds-Shepp problem and a new sub-Riemannian problem on $\mathrm{SE}(2)$; and (v) plane dynamic motion.

研究の動機と目的

• 任意の凸コンパクト集合 Ω における2次元制御を有する最適制御問題を解くための一様な解析的枠組みの構築。
• 凸三角関数の適用範囲を多様な幾何的・機械的制御問題へ拡張すること。
• 双曲的平面のFinsler幾何における測地線の明示的・閉形式解の提供。
• SU(2)、SL(2)、SE(2)、SH(2) などの単模3次元リー群における左不変部分Finsler問題の解を統一的に統合すること。
• Eulerの弾性問題、Markov-Dubins問題、Reeds-Shepp問題といった古典的問題を、より広範な動的運動および転がり玉問題のクラスへ一般化すること。

提案手法

• 任意の幾何的形状にかかわらず、制御集合 Ω を一様にパラメータ化するため、凸三角関数を活用する。
• Ω の支持関数とゲージ関数を用いて、制御方向および大きさの三角関数的類似物を定義する。
• 凸三角関数の恒等式を用いて、Pontryaginの最大原理を解くことにより、極値軌道の明示的表現を導出する。
• ハミルトニアン系を、解が凸三角関数で表現される三角関数的位相空間に写像する。
• 群構造と左不変性を活用して、特定のリー群にこの手法を適用し、問題を2次元制御問題に簡略化する。
• 接触制約の凸三角関数的パラメータ化を用いて、距離関数を Ω でモデル化することで、転がり玉問題の解を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸三角関数に基づく一様な解析的枠組みは、任意の凸制御集合を有する広範な2次元最適制御問題を解けるか？
• RQ2 単模3次元リー群上の部分Finsler測地線は、凸三角関数的手法を用いて明示的にパラメータ化可能か？
• RQ3 Reeds-Shepp問題やMarkov-Dubins問題といった古典的問題は、統一的な凸三角関数形式によってどの程度一般化可能か？
• RQ4 一般凸距離関数 Ω を有する転がり玉問題は、この手法を用いて明示的に解けるか？
• RQ5 凸三角関数は、平面上の動的運動問題に対して、明示的解の導出をどのように可能にするか？

主な発見

• 本稿では、Lobachevsky双曲平面におけるFinsler計量の測地線について、凸三角関数を用いて明示的・閉形式の解を導出する。
• SU(2)、SL(2)、SE(2)、SH(2) などのすべての単模3次元リー群における左不変部分Finsler測地線について、群構造の違いに関係なく一様に明示的解を提供する。
• 一般凸距離関数 Ω を有する転がり玉問題は、凸三角関数的パラメータ化を用いて2次元制御問題に還元し、明示的に解ける。
• Eulerの弾性問題やReeds-Shepp問題を含む一般化されたヨット問題は、提案された枠組みの下で統一され、明示的に解ける。
• 本手法により、制御集合 Ω の凸三角関数による表現を通じて、平面上の動的運動問題の軌道を明示的に解ける。
• 本アプローチは、Ω の具体的な形状に依存しない一様性と独立性を達成し、異なる幾何や制御制約を有する多様な問題を、同一の手法で解ける。