[논문 리뷰] Extended formulations, non-negative factorizations and randomized communication protocols

Yuri Faenza, Samuel Fiorini외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 20.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 22인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 랜덤화된 의사소통 프로토콜과 확장 표현 간의 밀접한 연결을 확립한다. 비음수 랭크의 로그 — 다각형의 확장 복잡도에 등가적임 — 은 평균적으로 행렬을 계산하는 데 필요한 랜덤화된 프로토콜의 최소 복잡도와 일치함을 증명한다. 이는 랜덤화가 프로토콜 복잡도를 크게 감소시킬 수 있음을 보여주며, 결정론적 프로토콜이 지수 크기의 확장 표현을 요구하는 경우에도, 완전 매칭 및 스패닝 트리 다각형에 대해 비지수 크기의 확장 표현을 가능하게 한다.

ABSTRACT

An extended formulation of a polyhedron $P$ is a linear description of a polyhedron $Q$ together with a linear map $π$ such that $π(Q)=P$. These objects are of fundamental importance in polyhedral combinatorics and optimization theory, and the subject of a number of studies. Yannakakis' factorization theorem [M. Yannakakis. Expressing combinatorial optimization problems by linear programs. {\em J. Comput. System Sci.}, 43(3):441--466 (1991)] provides a surprising connection between extended formulations and communication complexity, showing that the smallest size of an extended formulation of $P$ equals the nonnegative rank of its slack matrix $S$. Moreover, Yannakakis also shows that the nonnegative rank of $S$ is at most $2^c$, where $c$ is the complexity of any \emph{deterministic} protocol computing $S$. In this paper, we show that the latter result can be strengthened when we allow protocols to be \emph{randomized}. In particular, we prove that the base-2 logarithm of the nonnegative rank of any nonnegative matrix equals the minimum complexity of a randomized communication protocol computing the matrix in expectation. Using Yannakakis' factorization theorem, this implies that the base-2 logarithm of the smallest size of an extended formulation of a polytope $P$ equals the minimum complexity of a randomized communication protocol computing the slack matrix of $P$ in expectation. We show that allowing randomization in the protocol can be crucial for obtaining small extended formulations. Specifically, we prove that for the spanning tree and perfect matching polytopes, small variance in the protocol forces large size in the extended formulation.

연구 동기 및 목표

• 랜덤화된 의사소통 프로토콜을 사용하여 확장 복잡도를 엄밀하게 특성화하는 것.
• 의사소통 프로토콜에서의 랜덤화가 결정론적 프로토콜보다 훨씬 작은 확장 표현을 이끌 수 있음을 보여주는 것.
• 비음수 행렬의 비음수 랭크의 밑이 2인 로그가 평균적으로 그 행렬을 계산하는 데 필요한 랜덤화된 프로토콜의 최소 복잡도와 일치함을 증명하는 것.
• 완전 매칭 및 스패닝 트리 다각형의 경우, 결정론적 프로토콜은 지수 크기의 확장을 강제로 요구하지만, 랜덤화된 프로토콜은 다항수 크기의 확장을 가능하게 함을 보여주는 것.
• 프로토콜의 분산과 확장 크기 사이의 상호 교환 관계를 조사하여, 낮은 분산을 가지는 프로토콜은 큰 확장을 필요로 함을 보여주는 것.

제안 방법

• 슬랙 행렬의 비음수 분해와 다각형의 확장 표현 간의 연결을 위해 얀카카키의 인수분해 정리를 사용함.
• 의사소통 프로토콜 모델을 도입하여, 평균 출력이 슬랙 행렬의 원소들과 일치해야 함을 요구함.
• 임의의 비음수 행렬에 대해 비음수 랭크의 밑이 2인 로그가 평균적으로 그 행렬을 계산하는 데 필요한 랜덤화된 프로토콜의 최소 복잡도와 일치함을 증명함.
• 이 결과를 다각형에 적용하기 위해, 기존의 의사소통 문제(예: 집합의 교차 문제)를 그들의 슬랙 행렬에 통합함.
• 프로토콜의 분산 분석을 통해 확장 복잡도의 하한을 유도함으로써, 낮은 분산을 가지는 프로토콜은 큰 확장을 필요로 함을 보여줌.
• 완전 그래프의 완전 매칭 및 스패닝 트리 다각형의 슬랙 행렬에 집합의 교차 문제를 명시적으로 통합함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 슬랙 행렬을 계산하는 데 있어, 랜덤화된 의사소통 프로토콜이 결정론적 프로토콜보다 훨씬 낮은 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 랜덤화된 의사소통 프로토콜의 복잡도와 다각형의 확장 복잡도 사이에 엄밀한 대응 관계가 존재하는가?
• RQ3 프로토콜의 분산이 확장 표현의 크기에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 랜덤화된 프로토콜을 사용하여 완전 매칭 다각형에 대해 비지수 크기의 확장 표현을 달성할 수 있는가?
• RQ5 결정론적 프로토콜이 지수 크기의 확장을 강제로 요구하지만, 랜덤화된 프로토콜이 다항수 크기의 확장을 가능하게 하는 다각형이 존재하는가?

주요 결과

• 임의의 비음수 행렬에 대해, 비음수 랭크의 밑이 2인 로그는 평균적으로 그 행렬을 계산하는 데 필요한 랜덤화된 프로토콜의 최소 복잡도와 일치함.
• 완전 매칭 다각형 $K^n$의 경우, 정규화된 분산 $\sigma^2$를 가지는 프로토콜에 대응하는 모든 확장은 최소 $2^{\Omega(n(1-\sigma^2))}$의 크기를 가져야 함.
• 완전 매칭 다각형에 대한 결정론적 프로토콜은 지수 크기의 확장을 강제로 요구함. 이는 $\sigma^2 = 0$일 때 $\text{xc}(P) = 2^{\Omega(n)}$임을 의미함.
• $K^{2n+1}$의 스패닝 트리 다각형은 집합의 교차 행렬을 포함하고 있으며, 이는 낮은 분산을 가지는 프로토콜이 큰 확장을 강제함을 시사함.
• 복잡도 $2\lg n + O(1)$인 랜덤화된 프로토콜은 완전 매칭 다각형의 슬랙을 평균적으로 계산할 수 있으며, 이는 비지수 크기의 확장 표현을 가능하게 함.
• 만약 $\delta(U) \cap M$의 간선을 $o(n)$비트의 의사소통으로 찾을 수 있다면, 완전 매칭 다각형은 비지수 크기의 확장 표현을 가짐.