[論文レビュー] Extension of Convex Function

Min Yan|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非凸領域上で定義された凸関数をその凸包やそれ以上の領域へと拡張することを検討し、無限大の値を避けるためにヘッセ行列に基づく（局所的）凸性の定義に焦点を当てる。このような拡張が存在するための条件を確立し、特に有界な凸領域上で正定値ヘッセ行列を持つ $C^2$ 関数は、ヘッセ行列の有界性を保ったまま大域的に拡張可能であることを示す。また、領域に codimension-1 の穴がある場合、局所的凸性が大域的凸性を意味しないことを証明する。

ABSTRACT

We study the local and global versions of the convexity, which is closely related to the problem of extending a convex function on a non-convex domain to a convex function on the convex hull of the domain and beyond the convex hull. We also give the parallel results for the convexity defined by positive definite Hessian.

研究の動機と目的

• 非凸領域における大域的凸性、局所的凸性、区間凸性の違いを明確化すること。
• 凸包を超えて正定値ヘッセ行列を持つ $C^2$ 関数を拡張する問題に、無限大の値を割り当てずに取り組むこと。
• 領域上でヘッセ行列が正定値であるという局所的凸性が、いつ大域的凸性を意味するかを特定すること。
• 有界な凸領域上で定義された凸関数を、ヘッセ行列の有界性を保ったまま全空間へと拡張するための十分条件を提供すること。
• トポロジー的障害（例：codimension-1 の部分集合）が、局所的凸性が大域的凸性を意味しない理由を調査すること。

提案手法

• 凸、局所的凸性（ヘッセ行列に基づく）、区間凸性という3種類の凸性を定義し、凸結合とヘッセ行列の正定値性に基づく。
• PetersとWakkerの凸拡張結果を再定式化し、無限大の値を回避することで、実用的な解析的応用を可能にする。
• $C^2$ の正則性とヘッセ行列解析を用いて、ヘッセ行列の有界性を制御した拡張を構成し、特に凸包を超えて大域的に拡張可能であるための必要十分条件（Lipschitz連続性）を証明する。
• 滑らかなカットオフ関数 $\beta$ を用いて、二次関数と摂動項を結合し、codimension-1 の部分多様体の近傍で正定値ヘッセ行列を保証する。
• アフィン変換と局所座標系を用いて幾何的複雑性を低減し、臨界な場合の反例を構成する。
• 横断的交差と直線の連結成分の非連結性を含むトポロジー的議論を用いて、codimension-1 の障害がある場合、局所的凸性が大域的凸性を意味しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸領域上で正定値ヘッセ行列を持つ $C^2$ 関数が、全空間上で正定値ヘッセ行列を持つ $C^2$ 関数に拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 codimension-1 の穴を持つ領域において、ヘッセ行列が正定値であるという局所的凸性は、大域的凸性を保証するか？
• RQ3 ヘッセ行列が $A\|v\|^2$ と $B\|v\|^2$ の間に有界なコンパクトな凸領域上で定義された $C^2$ 関数は、同じヘッセ行列の有界性を保ったまま全空間へと拡張可能か？
• RQ4 領域が非凸である場合、凸性、局所的凸性、区間凸性の関係は何か？
• RQ5 どのようなトポロジー的障害が、局所的凸関数が大域的凸関数でないのを防ぐか？

主な発見

• 有界な凸領域上で正定値ヘッセ行列を持つ $C^2$ 関数が、全空間へと正定値ヘッセ行列を持つ $C^2$ 関数に拡張可能であるための必要十分条件は、関数がリプシッツ連続であることである。
• ヘッセ行列に基づく凸性（局所的凸性）は、領域に codimension-1 の障害がある場合、大域的凸性を意味しない。正定値ヘッセ行列を持つが凸でない $C^2$ 関数の構成によりこれを示す。
• 領域から codimension $\geq 2$ の部分集合を除いた場合、すべての3種類の凸性（大域的、局所的、区間的）が同値である。
• 領域から codimension-1 の部分集合（例えば超曲面）を除いた場合、局所的凸性は大域的凸性を意味しない。反例が明示的に構成される。
• 特別な場合 $A=0$, $B=+\infty$ において、ヘッセ行列の有界性が拡張によって保たれるという予想は、定理4.4により肯定的に示される。
• 局所的凸だが大域的凸でない関数の構成は、滑らかなカットオフ関数 $\beta$ と、正定値ヘッセ行列を保ちながら凸性を破壊する摂動項に依存する。