[論文レビュー] Extension of distributions, scalings and renormalization of QFT on Riemannian manifolds

Nguyen Viet Dang|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異性が閉部分多様体に沿って生じるリーマン多様体上の分布を拡張する一般枠組みを確立し、中程度の成長条件を導入することで、可解性を保証するとともに、量子場の理論（QFT）の振幅の再正則化を可能にする。主な貢献は、スケーリング不変成長条件による可解分布の特徴付けであり、再正則化されたフェยマン振幅を用いた曲がった多様体上での摂動的QFTの存在証明に繋がる。

ABSTRACT

Let $M$ be a smooth manifold and $X\subset M$ a closed subset of $M$. In this paper, we introduce a natural condition of \emph{moderate growth} along $X$ for a distribution $t$ in $\mathcal{D}^\prime(M\setminus X)$ and prove that this condition is equivalent to the existence of an extension of $t$ in $\mathcal{D}^\prime(M)$ generalizing some previous results of Meyer and Brunetti--Fredenhagen. When $X$ is a closed submanifold of $M$, we show that the concept of distributions with moderate growth coincides with weakly homogeneous distributions of Meyer. Then we renormalize products of distributions with functions tempered along $X$ and finally, using the whole analytical machinery developed, we give an existence proof of perturbative quantum field theories on Riemannian manifolds.

研究の動機と目的

• M\X 上の分布が M に拡張可能であるための自然で内的な条件—閉集合 X 沿いの中程度の成長—を定義すること。
• Meyer や Brunetti–Fredenhagen の先行結果を一般化し、可解性に対して必要かつ十分な成長条件を導入すること。
• X が部分多様体である場合に、中程度の成長と弱く斉次な分布との関係を確立すること。
• 拡張機構を用いて、ユークリッドQFTにおける分布および関数の再正則化積を構成すること。
• リーマン多様体上での摂動的QFTにおいて、局所性および因子分解性を満たす再正則化写像の存在を証明すること。

提案手法

• d(supp φ, X)−s を含む距離に基づくセミノルム推定を用いて、t ∈ D′(M\X) 上に中程度の成長条件を導入する。
• 中程度の成長と、cλ を含む切り捨て関数 βλ の族が存在し、λ → 0 のとき tβλ − cλ が D′(M) で収束することの同値性を証明する。
• X が部分多様体である場合、弱く斉次な分布（Meyer の意味で）は中程度の成長を有し、微分同相不変性による内在的定義が可能になる。
• 配置空間 M^n\d_n（小さな対角）の錐被覆を用いて、開集合 C_IJ に準拠するテンパード分割関数を構成する。
• 分割関数を用いて局所化し特異性を制御することで、X 沿いにテンパードな関数との再正則化積を定義する。
• 配置空間の分解とテンパード分割関数の適用により、フェイマン振幅の再正則化写像を構成し、収束性および局所性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で t ∈ D′(M\X) が D′(M) に拡張可能となるか？
• RQ2 閉部分多様体 X ⊂ M に近い分布の特異的挙動を、可解性を保証する形でどのように特徴づけられるか？
• RQ3 部分多様体特異性の文脈において、中程度の成長と弱く斉次な分布との関係は何か？
• RQ4 リーマン多様体上では、分布およびテンパード関数の再正則化積を一貫して定義可能か？
• RQ5 リーマン多様体上でのユークリッドQFTにおけるフェイマン振幅に対して、局所性および因子分解性を満たす再正則化写像が存在するか？

主な発見

• t ∈ D′(M\X) における中程度の成長条件は、D′(M) への拡張が存在するための必要十分条件であり、Meyer や Brunetti–Fredenhagen の先行結果を一般化する。
• 拡張は切り捨て関数 βλ と補正項 cλ の族を用いて達成され、lim_{λ→0} (tβλ − cλ) が拡張された分布を定義する。
• X が部分多様体である場合、中程度の成長を有する分布は弱く斉次な分布と一致し、微分同相不変性による内在的定義が可能になる。
• M^n\d_n 上に、(C_IJ) に準拠するテンパード分割関数 (χ_IJ) が存在し、各 χ_IJ は小さな対角 d_n 沿いにテンパードである。
• 再正則化されたフェイマン振幅は適切に定義され、拡張可能であり、再正則化写像は局所性および因子分解性を満たし、摂動的QFTにおける一貫性を保証する。
• テンパード分割関数の構成と制御された特異的拡張を用いて、リーマン多様体上でのユークリッドQFTにおける再正則化写像の存在が確立される。