[論文レビュー] Factorization of 4d N=1 superconformal index

Yutaka Yoshida|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 38被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、$U(N)$ SQCD（$N_F$ 個の基本表現および反基本表現のキラル多重項を有する）の4次元 $\upsilon=1$ 超共形指数の因子分解を確立した。その因子分解は、ヴォルテックスおよび反ヴォルテックスの分配関数の楕円的アップリフトの積に分解されることを示した。この因子分解は、異常なし R-charge の割り当てとトレースなしのヴォルテクシティ条件の両方が満たされる場合に限り成立し、4次元 $\upsilon=1$ 理論におけるホロモーフィックブロック因子分解の最初の証拠を提供する。

ABSTRACT

We study the factorization of four dimensional N=1 superconformal index for U(N) (SU(N)) SQCD with N_F fundamental and anti-fundamental chiral multiplets. When both the anomaly free R-charge assignment and the traceless condition for total vorticities are satisfied, we find that the superconformal index factorizes to a pair of the elliptic uplift of the vortex partition functions. We also study the relation between open topological string and the the elliptic uplift of the vortex partition functions. In the three dimensional limit, we show index for U(N) theory reduces to the factorized form of the partition function on the three dimensional squashed sphere.

研究の動機と目的

• 4次元 $\upsilon=1$ 理論における $U(N)$ SQCD の超共形指数が、3次元 $\upsilon=2$ 理論と同様にヴォルテックスと反ヴォルテックスへの因子分解を示すかを調査すること。
• そのような因子分解が成立するための正確な条件（特に R-charge の割り当てとヴォルテクシティの制約）を同定すること。
• ヴォルテックス分配関数の楕円的アップリフトを通じて、因子化された指数とオープントポロジカル弦理論との関係を探索すること。
• 4次元指数が3次元極限と整合することを示し、スクエーシングされた 3次元球面 $S^3_b$ 上の既知の因子化された分配関数に還元されることを示すこと。

提案手法

• 局所化を用いて超共形指数を計算し、経路積分をゲージのフェージティーズに関する多重コントゥール積分に還元する。
• ベクトル多重項およびキラル多重項の1ループ行列式は、シータ関数および楕円ガンマ関数を用いて表現される。
• アーベル型 $U(1)$ 場合を最初に分析し、因子分解の条件（異常なし R-charge 割り当て）を特定する。
• 非アーベル型 $U(N)$ 場合では、因子分解には異常なし R-charge に加え、全ヴォルテクシティのトレースがゼロである条件が必要であることが示された。
• 因子化形は、2次元ヴォルテックス分配関数の楕円的（シータ関数的）アップリフトの積として特定された。
• 3次元極限は、$S^1$ の半径をゼロにスケーリングすることで得られ、既知の 3次元 $S^3_b$ 分配関数と整合することが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $U(N)$ SQCD における4次元 $\upsilon=1$ 超共形指数は、基本および反基本の場を有する場合、ヴォルテックスおよび反ヴォルテックスの寄与に因子分解可能か？
• RQ2 そのような因子分解が成立するための R-charge およびヴォルテクシティに関する必要条件は何か？
• RQ3 因子化された指数は、オープントポロジカル弦理論およびヴォルテックス分配関数の楕円的アップリフトとどのように関係するか？
• RQ4 3次元極限において、4次元指数は既知の因子化された 3次元分配関数 $S^3_b$ に還元されるか？
• RQ5 4次元指数は、3次元 $\upsilon=2$ 理論と同様にホロモーフィックブロック分解として解釈可能か？

主な発見

• $N_F$ フレーバーを有する $U(N)$ SQCD の超共形指数は、異常なし R-charge 割り当てが満たされる場合、ヴォルテックスおよび反ヴォルテックス分配関数の楕円的アップリフトの積に因子分解される。
• 非アーベル型 $U(N)$ 理論では、因子分解には追加の制約が必要である：全ヴォルテクシティのトレースがゼロでなければならない。これは因子化形におけるゲージ不変性を保証する。
• 因子化形は2つの項の積として表現され、それぞれがホロモーフィックブロックに対応しており、3次元極限において3次元ホロモーフィックブロックの構造と整合的である。
• 解像されたコンパクト・コンパクト上でのオープントポロジカル弦の振幅は、ヴォルテックス分配関数の楕円的アップリフトを再現し、指数とトポロジカル弦理論との関係を確立する。
• 3次元極限において、4次元指数は既知のスクエーシングされた 3次元球面 $S^3_b$ 上の因子化された分配関数に還元され、3次元の結果と整合的であることが確認された。
• 本稿では、$S^1\times S^3$ 上での $S$-結合および $T^2\times S^2$ 上での恒等結合を通じて、4次元ホロモーフィックブロックの存在を予想する。