[論文レビュー] Factorization of a class of Toeplitz + hankel operators and the A_p-condition

Estelle Basor, Torsten Ehrhardt|ArXiv.org|Apr 20, 2004

Holomorphic and Operator Theory参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、Hardy空間 $ H^p(\mathbb{T}) $ 上のトーベィツ加ハンケル作用素の可逆性およびフレドホルム性が、生成関数 $ \phi $ の分解から得られる特定の関数 $ \sigma $ における $ A_p $-条件に等価であることを確立している。主な貢献は、非対称分解に必要な追加条件が、区間 $ [-1,1] $ 上の古典的ハント＝ムケンホプト＝ホイーデン $ A_p $-条件に等価であることを証明したことである。これにより、有界変動関数 $ \phi $ に対して可逆性の完全な特徴付けが可能となる。

ABSTRACT

Let $M(ϕ)=T(ϕ)+H(ϕ)$ be the Toeplitz plus Hankel operator acting on $H^p(\T)$ with generating function $ϕ\in L^\iy(\T)$. In a previous paper we proved that $M(ϕ)$ is invertible if and only if $ϕ$ admits a factorization $ϕ(t)=ϕ_{-}(t)ϕ_{0}(t)$ such that $ϕ_{-}$ and $ϕ_{0}$ and their inverses belong to certain function spaces and such that a further condition formulated in terms of $ϕ_{-}$ and $ϕ_{0}$ is satisfied. In this paper we prove that this additional condition is equivalent to the Hunt-Muckenhoupt-Wheeden condition (or, $A_{p}$-condition) for a certain function $σ$ defined on $[-1,1]$, which is given in terms of $ϕ_{0}$. As an application, a necessary and sufficient criteria for the invertibility of $M(ϕ)$ with piecewise continuous functions $ϕ$ is proved directly. Fredholm criteria are obtained as well.

研究の動機と目的

• Hardy空間 $ H^p(\mathbb{T}) $ 上のトーベィツ加ハンケル作用素 $ M(\phi) $ が可逆であるための必要十分条件を確立すること。
• 非対称因数分解における $ \phi $ の追加条件が、区間 $ [-1,1] $ 上のハント＝ムケンホプト＝ホイーデン $ A_p $-条件に等価であることを証明すること。
• 有界変動関数 $ \phi $ の場合に、$ A_p $-条件を主要な道具として用いて、$ M(\phi) $ に対する直接的かつ完全なフレドホルム基準を提供すること。
• 因数分解成分の巻き数を用いて、$ M(\phi) $ のフレドホルム指数を特徴付けること。

提案手法

• 著者たちは、符号 $ \phi \in L^\infty(\mathbb{T}) $ の一般化された非対称因数分解を用い、$ \phi(t) = \phi_{-}(t)t^{\varkappa}\phi_{0}(t) $ の形に分解する。ここで $ \phi_{-} $, $ \phi_{0} $ 及びその逆元に対して、特定の可積分性と可逆性の条件を課す。
• 彼らは、$ L^p(\mathbb{T}) $ の稠密部分空間 $ X_1 \subset L^p(\mathbb{T}) $ 上で作用する線形作用素 $ B = L(\phi_{0}^{-1})(I+J)PL(\phi_{-}^{-1}) $ を定義し、その作用素が $ L^p(\mathbb{T}) $ に有界拡張可能であることを因数分解条件の一部として要請する。
• 中心的な技術的ステップは、作用素 $ B $ の有界性が、因数分解に現れる複素指数の実部と $ \phi_0 $ から構成される関数 $ \sigma $ における $ A_p $-条件に等価であることを示すことである。
• 著者たちは、符号 $ \phi $ を $ b(t) $, $ \psi(t) $, および $ \widetilde{\psi}(t) $ を含む形に変換し、トーベィツ作用素およびハンケル作用素に関する既知の恒等式を活用して $ A_p $-条件を適用する。
• 因数分解における指数 $ \beta $ に対する摂動論法を用いて、$ A_p $-条件における厳密不等号の必要性を証明し、等号が成立するとフレドホルム指数において矛盾が生じることを示す。
• 証明は、関数解析的技法、円周上の調和解析、および特にムケンホプトの $ A_p $-理論に依拠する重み付きノルム不等式を組み合わせている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素 $ M(\phi) $ の非対称因数分解における追加の有界性条件は、区間 $ [-1,1] $ 上の $ A_p $-条件に等価か？
• RQ2 有界変動関数の符号に対して、$ M(\phi) $ の可逆性およびフレドホルム性を $ A_p $-条件を用いて直接的に特徴付けることができるか？
• RQ3 $ M(\phi) $ のフレドホルム指数と因数分解成分の巻き数の正確な関係は何か？
• RQ4 $ A_p $-条件は、因数分解を通じてトーベィツ加ハンケル作用素の構造から自然に生じるか？

主な発見

• 非対称因数分解に必要な追加条件は、因数分解に現れる $ \phi_0 $ と指数の実部から得られる関数 $ \sigma $ を用いて定義される、ハント＝ムケンホプト＝ホイーデン $ A_p $-条件に等価である。
• 有界変動関数 $ \phi $ の場合、作用素 $ M(\phi) $ がフレドホルム的であるための必要十分条件は、$ \phi $ が非対称因数分解をもち、関連する関数 $ \sigma $ が $ A_p $-条件を満たすことである。
• $ M(\phi) $ のフレドホルム指数は、符号 $ \phi $ の連続的かつ非ゼロの部分 $ b $ の巻き数の符号反転、すなわち $ -\mathrm{wind}(b) $ に等しく、これは因数分解から得られる指数 $ \varkappa $ と一致する。
• 指数 $ \beta $, $ \beta_r $, $ \beta^+ $, $ \beta^- $ の実部における厳密不等号の必要性は、摂動論法により証明された。等号が成立すると、小さな摂動のもとでフレドホルム指数に矛盾が生じる。
• $ A_p $-条件は、符号を $ \sigma_0(x) $, $ (1-x)^{-\mathrm{Re\,}\beta^+ - 1/2p} $, $ (1+x)^{-\mathrm{Re\,}\beta^- + 1/2q} $, および $ |x - \cos\theta_r|^{-\mathrm{Re\,}\beta_r^+ - \mathrm{Re\,}\beta_r^-} $ の積の形に変換し、補題3.1を適用することで検証された。