[논문 리뷰] Fair Clustering with Multiple Colors

Matteo Böhm, Adriano Fazzone외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 18.

Face and Expression Recognition참고 문헌 47인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 중심 기반 목표 함수인 k-median, k-means, k-center에 대해 다색(보호된 특성)을 고려한 정당성 있는 k-클러스터링으로의 단순한 환원을 제안하며, 중심 기반 목표 함수에 대해 상수 요인 근사치를 달성한다. 핵심 결과는 비제약 조건이 있는 문제의 근사 요인 α에 대해 (α + 2)-근사치를 제공하는 것으로, 이는 다색 정당성 있는 클러스터링 문제 중 많은 문제에 대해 처음으로 진정한 상수 요인 근사치를 제공한다.

ABSTRACT

A fair clustering instance is given a data set $A$ in which every point is assigned some color. Colors correspond to various protected attributes such as sex, ethnicity, or age. A fair clustering is an instance where membership of points in a cluster is uncorrelated with the coloring of the points. Of particular interest is the case where all colors are equally represented. If we have exactly two colors, Chierrichetti, Kumar, Lattanzi and Vassilvitskii (NIPS 2017) showed that various $k$-clustering objectives admit a constant factor approximation. Since then, a number of follow up work has attempted to extend this result to a multi-color case, though so far, the only known results either result in no-constant factor approximation, apply only to special clustering objectives such as $k$-center, yield bicrititeria approximations, or require $k$ to be constant. In this paper, we present a simple reduction from unconstrained $k$-clustering to fair $k$-clustering for a large range of clustering objectives including $k$-median, $k$-means, and $k$-center. The reduction loses only a constant factor in the approximation guarantee, marking the first true constant factor approximation for many of these problems.

연구 동기 및 목표

• 다색(보호된 그룹)이 있는 정당성 있는 k-클러스터링에 대해 상수 요인 근사 알고리즘을 설계하는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 이전 결과가 두 색상 또는 특수 케이스에 국한되어 있었음을 감안할 때, 일반적인 중심 기반 클러스터링 목표 함수에 대해 두 색상 설정을 초월하여 결과를 확장하기 위해.
• 비제약 조건이 있는 k-클러스터링에서 정당성 있는 k-클러스터링으로의 일반적이고 강력한 환원을 제안하여 근사 품질을 상수 요인 내에서 유지하기 위해.
• 기존의 효율적인 클러스터링 및 정당성 레이어 분해 방법과 통합하여 실용적인 확장성을 확보하기 위해.

제안 방법

• 비제약 조건이 있는 k-클러스터링에서 정당성 있는 k-클러스터링으로의 환원을 제안하여 근사 요인을 상수 오차 항 O(1) 내에서 유지한다.
• 운반 문제 공식화를 사용하여 클러스터 내 색상 균형 제약 조건을 충족시키면서 점들을 중심에 할당한다.
• 정당성 있는 클러스터링에 대해 3-근사치를 달성하는 간단한 그레디 히우리스틱을 설계한다.
• k-median에 대해 선형 시간 O(d log n)-근사치 알고리즘을 다색으로 확장하여 선형 시간 효율성을 유지한다.
• 환원을 빠른 정당성 레이어 분해와 통합하여 대규모 데이터세트에 적용 가능하게 한다.
• 비제약 조건이 있는 문제에 대한 기존 근사 알고리즘을 서브루틴으로 활용하여 근사 보장을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k-median나 k-means와 같은 일반적인 중심 기반 목표 함수에 대해 세 개 이상의 보호 그룹(색상)이 있는 정당성 있는 k-클러스터링에 대해 상수 요인 근사치를 달성할 수 있는가?
• RQ2 근사 비율에서 상수 오차 항(α + 2)이 반드시 필요한가, 아니면 더 낫게 근사할 수 있는가?
• RQ3 세 개 이상의 색상이 포함될 경우 정당성 있는 클러스터링 문제가 비제약 조건이 있는 경우보다 엄격히 더 어려워지는가?
• RQ4 k가 상수일 경우, 심지어 유클리드 공간에서도 정당성 있는 k-median나 k-means에 대해 PTAS를 구성할 수 있는가?
• RQ5 색상 카디널리티가 비균형적이거나 겹치는 경우, 이중 근사치의 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 중심 기반 목표 함수, 즉 k-median, k-means, k-center에 대해 다색 정당성 있는 k-클러스터링에 대해 (α + 2)-근사치를 달성한다. 여기서 α는 비제약 조건이 있는 문제의 근사 요인이다.
• k-center에 대해 간단한 그레디 히우리스틱이 3-근사치를 달성하여 이전의 이중 근사치나 제약 조건이 있는 결과보다 향상된다.
• k-median에 대해 선형 시간 O(d log n)-근사치 알고리즘은 다색으로 확장되었으며, 선형 시간 효율성이 유지된다.
• 세 개 이상의 색상이 있을 경우, 정당성 있는 n-center 및 정당성 있는 n-median 문제는 APX-난이도임이 입증되었으며, 이는 두 색상 케이스를 초월해 복잡성이 증가했음을 시사한다.
• 이 환원은 강력하며, 빠른 정당성 레이어 분해와 통합 가능하여 CensusII와 같이 45만 개의 점을 포함한 대규모 데이터세트에 적용 가능하다.
• k가 상수일 경우, 심지어 상수 차원 유클리드 공간에서도 정당성 있는 클러스터링에 대해 PTAS가 존재하지만, 일반적인 k에 대해 PTAS의 존재성은 여전히 열려 있다.