[論文レビュー] Families of G-constellations over resolutions of quotient singularities

Timothy Logvinenko|ArXiv.org|May 14, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、有限アーベル群 $G \leq \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ による商特異点 $\mathbb{C}^n/G$ の解消の下で、正則表現に同型な局所的正則切断を持つ $G$-定数的層（G-constellations）の族を分類する。$G$-Weil divisor（$G$-Weil divisor）を導入し、Weil divisorの一般化として、このような族の同型類と、特定の線形不等式を満たす $G$-Weil divisor の有限集合との間に一対一対応を確立し、同値類の有限性を証明する。

ABSTRACT

Let G be a finite subgroup of GL_n(C). A study is made of the ways in which resolutions of the quotient space C^n / G can parametrise G-constellations, that is, G-regular finite length sheaves. These generalise G-clusters, which are used in the McKay correspondence to construct resolutions of orbifold singularities. A complete classification theorem is achieved, in which all the natural families of G-constellations are shown to correspond to certain finite sets of G-Weil divisors, which are a special sort of rational Weil divisor, introduced in this paper. Moreover, it is shown that the number of equivalence classes of such families is always finite. Explicit examples are computed throughout using toric geometry.

研究の動機と目的

• 与えられた解消 $Y$ によってパラメトライズ可能な $G$-定数的層族の同定。
• McKay 対応で用いられる $G$-クラスタ（$G$-clusters）の概念を、$|G|$ の長さに限らないすべての $G$-定数的層に一般化すること。
• $G$-定数的層族の構造を符号化する新しい有理係数 Weil divisor のクラスとして $G$-Weil divisor を導入し、その性質を研究すること。
• 任意の解消 $Y$ における自然な $G$-定数的層族の完全分類を確立し、それらが特定の不等式を満たす $G$-Weil divisor の有限集合と一対一対応することを示すこと。
• このような族の同値類の数が常に有限であることを証明し、$G$-定数的層のモジュライ空間に対する構造的制約を与えること。

提案手法

• $K^*_G(\mathbb{C}^n)/\mathcal{O}_Y^*$ の切断として $G$-Cartier divisor を定義する。ここで $K^*_G(\mathbb{C}^n)$ は $\mathbb{C}^n$ 上の非零 $G$-同次有理関数のなす群である。
• $K^*_G(\mathbb{C}^n)$ からの価の拡張を用いて、$Y$ 上の $\mathbb{Q}$-Weil divisor の部分集合として $G$-Weil divisor を定義し、古典的 Weil divisor の一般化とする。
• $Y$ 上の各 $\chi$-Weil divisor $D_\chi$ に対して、直和 $\oplus \mathcal{L}(-D_\chi)$ を用いて $G$-定数的層族を構成する。
• $R$ に属するすべての $G$-同次関数 $f$ に対して、$D_\chi + (f) - D_{\chi\rho(f)} \geq 0$ という線形不等式を課し、$R$-加群構造との整合性を保証する。
• 冗長性を排除し、同値類毎に一意な代表元を得るために、$D_{\chi_0} = 0$ と正規化する。
• $M_\chi$ を最大シフト divisor として構成し、$D_\chi$ の取り得る範囲を有界化することで、分類の有限性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた解消 $Y$ によってパラメトライズ可能な $G$-定数的層族はどれか？
• RQ2 このような族を、$Y$ 上の幾何的・代数的データを用いて体系的に分類する方法は何か？
• RQ3 $G$-Weil divisor は $G$-定数的層族の構造をどのように符号化するか？
• RQ4 このような族の同値類の数が有限であることを示せるか？
• RQ5 すべての $G$-定数的層族を divisor データによって一意にパラメトライズする標準的な方法はあるか？

主な発見

• 解消 $Y$ を通じて一般 $G$-軌道の変形として得られるすべての $G$-定数的層族は、各 $D_\chi$ が $\chi$-Weil divisor であるような $\oplus_{\chi \in G^\vee} \mathcal{L}(-D_\chi)$ の形に表せる。
• このような族の集合は、すべての $G$-同次関数 $f \in R$ に対して $D_\chi + (f) - D_{\chi\rho(f)} \geq 0$ を満たす $G$-Weil divisor の有限集合と一対一対応する。
• 各同値類には、$D_{\chi_0} = 0$ を満たす一意な代表元が存在し、これは標準的な正規化を提供する。
• $M_\chi \geq D_\chi \geq -M_{\chi^{-1}}$ という有界性が成り立つ。ここで $M_\chi$ は $G$ と $Y$ のみに依存する固定された divisor である。この有界性により、分類の有限性が保証される。
• 同値類の数は常に有限であり、$M_\chi$ の和が有限であるため、正規化された再帰的集合の集合が有限になることから、その有限性が保証される。