[論文レビュー] Fast Algorithms at Low Temperatures via Markov Chains

Zongchen Chen, Andreas Galanis+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 26被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、有界次数の拡張グラフ上の低温スピン系における効率的なサンプリングと近似カウントのための新しいマーカフ連鎖アルゴリズムを提案する。問題をポリマー・モデルに変換し、ポリマー重みの指数的減衰のもとで迅速混合を証明することで、低温フェロ磁性PottsモデルにおけるO(n log n)時間のサンプリングを達成し、従来のn^{O(log Δ)}時間のアルゴリズムと比べて顕著な改善を示す。

ABSTRACT

For spin systems, such as the hard-core model on independent sets weighted by fugacity lambda>0, efficient algorithms for the associated approximate counting/sampling problems typically apply in the high-temperature region, corresponding to low fugacity. Recent work of Jenssen, Keevash and Perkins (2019) yields an FPTAS for approximating the partition function (and an efficient sampling algorithm) on bounded-degree (bipartite) expander graphs for the hard-core model at sufficiently high fugacity, and also the ferromagnetic Potts model at sufficiently low temperatures. Their method is based on using the cluster expansion to obtain a complex zero-free region for the partition function of a polymer model, and then approximating this partition function using the polynomial interpolation method of Barvinok. We present a simple discrete-time Markov chain for abstract polymer models, and present an elementary proof of rapid mixing of this new chain under sufficient decay of the polymer weights. Applying these general polymer results to the hard-core and ferromagnetic Potts models on bounded-degree (bipartite) expander graphs yields fast algorithms with running time O(n log n) for the Potts model and O(n^2 log n) for the hard-core model, in contrast to typical running times of n^{O(log Delta)} for algorithms based on Barvinok’s polynomial interpolation method on graphs of maximum degree Delta. In addition, our approach via our polymer model Markov chain is conceptually simpler as it circumvents the zero-free analysis and the generalization to complex parameters. Finally, we combine our results for the hard-core and ferromagnetic Potts models with standard Markov chain comparison tools to obtain polynomial mixing time for the usual spin system Glauber dynamics restricted to even and odd or "red" dominant portions of the respective state spaces.

研究の動機と目的

• 従来のマーカフ連鎖（Glauberダイナミクスなど）が混合が遅いことが知られている低温スピン系における、近似カウントとサンプリングのためのより高速なアルゴリズムの開発。
• 局所的マーカフ連鎖の低温領域における混合遅延を、ポリマー・モデルとクラスタ展開技術を活用することで克服すること。
• ポリマー重みの指数的減衰のもとで迅速混合を達成する、ポリマー配置上での新しいマーカフ連鎖の設計。
• 低温領域における双方向拡張グラフ上でのハードコアおよびPottsモデルに対して、多項式時間のサンプリングおよびカウントアルゴリズムの確立。

提案手法

• 元のスピン系を、基底状態からのずれを表すポリマーとして表現する抽象的ポリマー・モデルに変換する。
• 単一更新移動を用いたポリマー配置上のマーカフ連鎖を定義し、単一更新適合性を保証するためにDFS順序を用いる。
• ポリマー重みがサイズとともに指数的に減少する条件のもとで、マーカフ連鎖の迅速混合を証明する。この条件はパrameter τを用いたポリマー・サンプリング条件として形式化される。
• ε-近似サンプリングおよびカウントを達成するために、サイズ ≤ M の切り捨てられたポリマー・モデルを用いる。Mは分配関数重みのうちε未満を除くすべての重みをカバーするように選ばれる。
• マーカフ連鎖比較技術を用いて、低エネルギー領域に制限されたGlauberダイナミクスの多項式時間での混合を示す。
• クラスタ展開とテイラー級数近似を用いて、分配関数をポリマー寄与の和として表現し、計算を効率化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的ダイナミクスが遅い低温スピン系において、マーカフ連鎖を迅速混合可能にするか？
• RQ2 ポリマー重みにどのような条件が成立すれば、ポリマー配置上でのマーカフ連鎖の迅速混合が保証されるか？
• RQ3 拡張グラフ上での低温Pottsおよびハードコアモデルに対して、O(n log n)時間のサンプリングアルゴリズムを達成できるか？
• RQ4 ポリマー・モデルをどのように活用することで、低温領域における効率的な近似カウントおよびサンプリングアルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 分配関数をε近似で捉えるために必要な最小の切り捨てサイズMはどの程度か？

主な発見

• ポリマー重みが指数的に減少する場合、提案されたポリマー配置上でのマーカフ連鎖は迅速混合し、ポリマー・サンプリング条件のもとで混合時間はO(n log n)で抑えられる。
• 有界次数の拡張グラフ上での低温フェロ磁性Pottsモデルに対して、O(n log n)時間のサンプリングアルゴリズムが達成された。
• λ ≥ (6∆)^{3+6/α} を満たす双方向α拡張グラフ上でのハードコアモデルに対して、ε-近似カウントおよびサンプリングアルゴリズムはM = Θ(log(n/ε))の切り捨てでO(n log n)時間で実行可能である。
• M = 3(2+α) log(4n/ε)/(2α log λ) で切り捨てられたポリマー・モデルは、分配関数重みのうちε未満を除くすべての重みをカバーする。
• ポリマーに基づくマーカフ連鎖の迅速混合のおかげで、低エネルギー状態に制限されたGlauberダイナミクスも多項式時間で混合する。
• 結果はハードコアおよびPottsモデルの両方へ拡張可能であり、拡張グラフ上での低温領域における最初のほぼ線形時間アルゴリズムを提供する。