[論文レビュー] Faster Longest Common Extension Queries in Strings over General Alphabets

Paweł Gawrychowski, Tomasz Kociumaka+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2016

Algorithms and Data Compression参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般の順序付きアルファベット上での文字列に対するLongest Common Extension (LCE) クエリをより高速に処理するアルゴリズムを提示している。q 個のクエリに対して O(q log log n + n log* n) の総実行時間で処理でき、O(q + n) 回の文字比較を行う。先行研究を改善するため、差分カバーを用いた再帰的短いLCEクエリと効率的なUnion-Find構造を用いており、文字列内のすべてのランを計算するのに O(n log log n) 時間を要する。これは、線形時間LCE計算への主要な一歩である。

ABSTRACT

Longest common extension queries (often called longest common prefix queries) constitute a fundamental building block in multiple string algorithms, for example computing runs and approximate pattern matching. We show that a sequence of $q$ LCE queries for a string of size $n$ over a general ordered alphabet can be realized in $O(q \log \log n+n\log^*n)$ time making only $O(q+n)$ symbol comparisons. Consequently, all runs in a string over a general ordered alphabet can be computed in $O(n \log \log n)$ time making $O(n)$ symbol comparisons. Our results improve upon a solution by Kosolobov (Information Processing Letters, 2016), who gave an algorithm with $O(n \log^{2/3} n)$ running time and conjectured that $O(n)$ time is possible. We make a significant progress towards resolving this conjecture. Our techniques extend to the case of general unordered alphabets, when the time increases to $O(q\log n + n\log^*n)$. The main tools are difference covers and the disjoint-sets data structure.

研究の動機と目的

• 一般の順序付きアルファベット上での文字列に対するLCEクエリのシーケンスを処理する時間計算量の改善。
• 文字列内のすべてのランを計算するための総実行時間の短縮。これは基本的な文字列処理タスクである。
• Kosolobovの未解決問題、すなわち比較モデルにおいてO(n)時間でO(n)個のLCEクエリを処理することが可能かどうか。
• 比較ではなく等価性チェックのみが許可される一般の順序なしアルファベットへのアプローチの拡張。

提案手法

• O(q + n) 回の文字比較を管理するために、効率的なUnion-Findデータ構造を活用し、t = polylog n の範囲で min(LCE(i,j), t) を再帰的に計算するアプローチを採用。
• 差分カバーを用いて文字列内の重要な位置をサンプリングし、スパースサフィックスアレイの構築を可能にすることで、効率的なLCE計算を実現。
• Union-Find操作の均等コストを制御するため、特定の構造的性質を持つ複数段階の差分カバーを導入。
• クエリ数 q < n の場合に最適化するため、差分カバーの階層とクエリ解消戦略を調整。
• 比較を等価性チェックに置き換えることで、順序なしアルファベットに対しても同様の漸近的境界を維持するようにアルゴリズムを適応。
• スパースLCEクエリをサンプリングされた位置で実行し、2段階戦略（短いクエリの後に粗いクエリ）を用いて任意のLCEクエリに応答。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の順序付きアルファベットにおいて、比較モデルでO(n)時間でO(n)個のLCEクエリを処理することが可能か？
• RQ2 文字列の比較（ソートではない）のみが許可される状況で、LCE問題をどのように効率的に解けるか？
• RQ3 比較モデルではなく等価性チェックのみが可能な順序なしアルファベットに対しても、効率的に動作するようにアルゴリズムを拡張可能か？
• RQ4 差分カバーとUnion-Find構造は、文字比較総数を低減するために果たす役割は何か？
• RQ5 O(n)回の文字比較のみで、文字列内のすべてのランを計算するのにO(n log log n)時間で処理可能か？

主な発見

• 一般の順序付きアルファベット上での長さnの文字列に対してq個のLCEクエリを処理する場合、O(q log log n + n log* n) の総実行時間で処理でき、O(q + n) 回の文字比較を行う。
• 一般の順序付きアルファベット上での文字列に対して、すべてのランをO(n log log n) 時間で計算でき、O(n) 回の文字比較のみを実行する。
• 一般の順序なしアルファベットでは、同じクエリシーケンスをO(q log n + n log* n) 時間で処理でき、O(q + n) 回の等価性テストを行う。
• KosolobovのO(n log^{2/3} n) 解法に対する改善は、再帰的短いLCEクエリと多段階差分カバーの導入によって達成された。
• 経路圧縮とランクによる結合を用いたUnion-Findにより、比較の均等コストが提示された境界内に保たれる。
• 総実行時間の大幅な低減を達成しながら、比較回数を線形に保ち、LCEクエリ処理のO(n)時間実現への道筋を前進させた。