[论文解读] FFT, FMM, or Multigrid? A comparative study of state-of-the-art Poisson solvers in the unit cube

Amir Gholami, Dhairya Malhotra+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2014

Spacecraft and Cryogenic Technologies被引用 5

一句话总结

本文在大规模HPC系统上对FFT、FMM、GMG和AMG求解器在单位立方体中求解泊松方程进行了基准测试。结果表明，对于具有均匀分辨率的平滑源，FFT表现最佳；而对于局域化特征，FMM和GMG优于FFT，且在这些情况下FMM与GMG性能相当。

ABSTRACT

From molecular dynamics and quantum chemistry, to plasma physics and computational astrophysics, Poisson solvers in the unit cube are used in many applications in computational science and engineering. In this work, we benchmark and discuss the performance of the scalable methods for the Poisson problem which are used widely in practice: the Fast Fourier Transform (FFT), the Fast Multipole Method (FMM), the geometric multigrid (GMG) and algebraic multigrid (AMG). All but the AMG code are developed in our group. The GMG and FMM are novel parallel schemes using high-order approximation schemes for Poisson problems with continuous forcing functions (the source or right-hand side). Our FFT code is based on the FFTW for single node parallelism. The AMG code is from the Trilinos library from the Sandia National Laboratory. We examine and report results for weak scaling, strong scaling, and time to solution for uniform and highly refined grids. We present results on the Stampede system at the Texas Advanced Computing Center and on the Titan system at the Oak Ridge National Laboratory. In our largest test case, we solved a problem with 600 billion unknowns on 229,379 cores of Titan. Overall, all methods scale quite well to these problem sizes. We have tested all of the methods with different source functions (the right hand side in the Poisson problem). Our results indicate that FFT is the method of choice for smooth source functions that require uniform resolution. However, FFT loses its performance advantage when the source function has highly localized features like internal sharp layers. FMM and GMG considerably outperform FFT for those cases. The distinction between FMM and GMG is less clear.

研究动机与目标

• 评估并比较最先进的泊松求解器（FFT、FMM、GMG和AMG）在大规模HPC架构上的性能表现。
• 确定针对不同源函数特征（特别是平滑与高度局域化特征）的最优求解器。
• 评估现代超级计算机上均匀网格与高度精细网格下的弱缩放和强缩放行为。
• 为计算科学家在基于问题类型和硬件约束选择求解器时提供可操作的见解。

提出的方法

• 实现了一种新型并行FMM方案，针对单位立方体中的连续强迫函数实现高阶精度。
• 开发了具有并行多重网格循环和高阶插值/限制算子的高阶几何多重网格（GMG）求解器。
• 使用FFTW实现单节点FFT并行化，利用其高度优化的变换内核。
• 集成基于Trilinos的AMG求解器用于对比，采用其稳健的代数多重网格框架。
• 在Stampede和Titan系统上，使用均匀网格和高度精细网格进行基准测试。
• 测量了在不同问题规模和核心数量下的弱缩放、强缩放及求解时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在现代超级计算机上，FFT、FMM、GMG和AMG在单位立方体泊松问题中的弱缩放和强缩放行为如何？
• RQ2 对于需要均匀分辨率的平滑源函数，哪种求解器能实现最佳求解时间？
• RQ3 局域化特征（如陡峭内部层）的存在如何影响各求解器的性能？
• RQ4 在求解具有非平滑或局域化源函数的泊松问题时，FMM与GMG的相对性能如何？

主要发现

• 对于需要均匀分辨率的平滑源函数，FFT在性能上优于FMM、GMG和AMG。
• 对于具有高度局域化特征的源函数（如内部陡峭层），FFT的性能优势丧失，其表现被FMM和GMG超越。
• 在具有局域化特征的问题中，FMM与GMG表现出相当的性能，两者均未持续占据主导地位。
• 四种方法在大规模问题上均表现出良好的可扩展性，最大测试案例在Titan系统的229,379个核心上求解了包含6000亿个未知数的问题。
• 当源为平滑且均匀解析时，FFT的求解时间显著低于FMM和GMG。
• 随着源函数中局域化特征复杂度的增加，FFT与其他方法之间的性能差距进一步扩大。