[論文レビュー] Fighting fish and two-stack sortable permutations

Wenjie Fang|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2017

Biochemical and Structural Characterization参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、戦うフィッシュと2スタック可算順列の間の再帰的双対写像を確立し、これらの対象の等数性に対する最初の組合せ的解釈を提供する。この双対写像は、上昇、下降、左から右への最大値、およびスタックソーティング写像における直前要素を前駆する要素といった重要な統計量を保存する。これにより、生成関数を用いて以前に得られていた精緻な数え上げ結果の双対的証明が可能になる。

ABSTRACT

In 2017, Duchi, Guerrini, Rinaldi and Schaeffer proposed a new family of combinatorial objects called "fighting fish", which are counted by the same formula as more classical objects, such as two-stack sortable permutations and non-separable planar maps. In this article, we explore the bijective aspect of fighting fish by establishing a bijection to two-stack sortable permutations, using a new recursive decomposition of these permutations. With our bijection, we give combinatorial explanations of several results on fighting fish proved previously with generating functions. Using the decomposition of two-stack sortable permutations, we also prove the algebraicity of their generating function, extending a result of Bousquet-Mélou (1998).

研究の動機と目的

• 戦うフィッシュと2スタック可算順列の等数性について、生成関数を除いては以前に示されていなかった組合せ的解釈を提供すること。
• Duchiら（2017b）の未解決の予想である、戦うフィッシュと左3分木との間の精緻な双対写像を、2スタック可算順列との基礎的双対写像を確立することで解決すること。
• 戦うフィッシュの既知の再帰的構造を模倣する2スタック可算順列の再帰的分解を提供し、直接的な双対的構成を可能にすること。
• 先行研究よりも単純な関数方程式を用いて、2スタック可算順列の精緻な生成関数の代数的性質を証明すること。
• 明示的な双対写像を通じて、非分離平面マップや一般化されたタマリ区間を含む、同じ式で数え上げられる組合せ的対象の広範なネットワークへ戦うフィッシュを統合すること。

提案手法

• 最大要素の位置とスタックソーティングプロセスの構造に基づく、2スタック可算順列の新しい再帰的分解が導入される。
• この分解が、Duchiら（2017b）で定義された戦うフィッシュの再帰的分解と同型であることが示され、再帰的双対写像 φ が可能になる。
• 双対写像 φ は、2スタック可算順列の左・右部分木を戦うフィッシュの左・右成分に再帰的に写像することで構成される。
• 記号的組合せ論と関数方程式を用いて、左/右下部自由辺の数、フィン長、スタック像における直前要素を前駆する要素の数といった複数の統計量を符号化する生成関数 T(t,x,u,v;p,q,s) をモデル化する。
• 特殊化された系列 T_abc を含む方程式系を用いて生成関数が代数的であることを証明する。主なステップは T_011 に対する2次方程式の解法である。
• Bousquet-Mélou（1998）と比較して、複雑な生成関数の操作を回避し、最小限の数の式と2次法を用いることで、代数的性質の証明を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 戦うフィッシュと2スタック可算順列との間で、上昇、下降、左から右への最大値、およびスタック像における直前要素を前駆する要素といった重要な組合せ的統計量を保存する双対的対応を確立できるか？
• RQ2 2スタック可算順列の生成関数に複数の統計量を付加した場合、代数的であるか。また、以前に知られていたものよりも単純な関数方程式でこれを証明できるか？
• RQ3 2スタック可算順列の再帰的構造は、戦うフィッシュの再帰的分解を模倣する分解を許容するか。これにより直接的な双対写像が可能になるか？
• RQ4 生成関数を用いて以前に示された戦うフィッシュと左3分木に関する精緻な等数性結果は、この双対写像を通じて組合せ的解釈を与えられるか？
• RQ5 この双対写像を拡張したり、既存の双対写像と合成したりすることで、非分離平面マップや一般化されたタマリ区間といった関連対象のより深い構造的性質を研究できるか？

主な発見

• 左・右下部自由辺の数、フィン長、およびスタック像において直前要素を前駆する要素の数を保存する、2スタック可算順列と戦うフィッシュとの再帰的双対写像 φ が構成される。
• n+1 個の下部自由辺をもつ戦うフィッシュの数は、公式 2/(n+1)(3n+1) * C(3n+1,n) で与えられ、長さ n の2スタック可算順列の数と一致する。
• 2スタック可算順列の複数の統計量を符号化する生成関数 T(t,x,u,v;p,q,s) が、新しい再帰的分解から導かれる方程式系を用いて代数的であることが証明される。
• 生成関数の関数方程式は Bousquet-Mélou（1998）のものよりも単純で、1つの差分項しか含まないため、代数的性質の証明がより直接的に行える。
• 双対写像を通じて、マップ双対性による非分離平面マップにおける頂点と面の対称性の組合せ的解釈が可能になる。統計量が双対写像を通して転送される。
• この手法により、戦うフィッシュが非分離平面マップや左3分木を含む、同じ式で数え上げられる既知の組合せ的対象のネットワークの一部として、明示的かつ構造的な双対写像を通じて確立される。