[論文レビュー] Financial markets with volatility uncertainty

Joerg Vorbrink|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、G期待値とGブラウン運動を用いてボラティリティの不確実性下での金融市場モデルを構築し、不完全市場におけるヨーロピアン継続的クレームの価格設定とヘッジのための数学的に整合性のある枠組みを提供する。主な貢献は、クレームのアービタージュなし価格の区間を導出することであり、マコフ的設定では明示的な結果が得られる。

ABSTRACT

We investigate financial markets under model risk caused by uncertain volatilities. For this purpose we consider a financial market that features volatility uncertainty. To have a mathematical consistent framework we use the notion of G-expectation and its corresponding G-Brownian motion recently introduced by Peng (2007). Our financial market consists of a riskless asset and a risky stock with price process modeled by a geometric G-Brownian motion. We adapt the notion of arbitrage to this more complex situation and consider stock price dynamics which exclude arbitrage opportunities. Due to volatility uncertainty the market is not complete any more. We establish the interval of no-arbitrage prices for general European contingent claims and deduce explicit results in a Markovian setting.

研究の動機と目的

• ボラティリティが正確には把握できないが、有界な区間内に存在するというボラティリティ不確実性下での金融市場をモデル化すること。
• ボラティリティの曖昧さに起因するモデルリスクを扱うために、G期待値とGブラウン運動を用いた数学的に整合性のある枠組みを構築すること。
• ボラティリティ不確実性を伴う市場におけるアービタージュの概念を適応させ、アービタージュ条件が保たれることを保証すること。
• この枠組み下で一般のヨーロピアン継続的クレームのアービタージュなし価格の区間を特定すること。
• マコフ的設定において明示的な価格設定式を導出し、実用的な計算とヘッジ戦略を可能にすること。

提案手法

• Peng (2007) が導入したG期待値とGブラウン運動を用い、過程の二次変動が不確実で区間 $[\underline{\sigma}^2, \overline{\sigma}^2]$ 内にあるというボラティリティ不確実性をモデル化する。
• 株価過程を幾何的Gブラウン運動としてモデル化する：$ dS^\sigma_t = rS^\sigma_t dt + \sigma_t S^\sigma_t dB_t $、ここで $ \sigma_t \in [\underline{\sigma}, \overline{\sigma}] $。
• 事前分布の集合 $ \mathcal{P} $ を、互いに特異な測度として定義し、基準測度に対して絶対連続性がないことを反映させ、これにより古典的な複数事前モデルの技術的・経済的制限を回避する。
• G伊藤積分を用いて確率積分と二次変動過程を定義し、G期待値下で $ \langle B \rangle_t $ が $ N([\underline{\sigma}^2 t, \overline{\sigma}^2 t] \times \{0\}) $-分布に従うことを示す。
• G期待値下でのマルティンゲール表現定理を適用する：任意のGマルティンゲール $ X_t = E_G(\xi | \mathcal{F}_t) $ は一意に分解 $ X_t = X_0 + \int_0^t z_s dB_s - K_t $ を持つ。ここで $ -K_t $ はGマルティンゲールである。
• Gマルティンゲールを条件 $ E_G(M_t | \mathcal{F}_s) = M_s $ で特徴づけ、$ M_t = x + \int_0^t z_s dB_s + \int_0^t \eta_s d\langle B \rangle_s - \int_0^t 2G(\eta_s) ds $ がGマルティンゲールであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボラティリティ不確実性を伴う市場を、確率積分法を用いて一貫してモデル化するにはどうすればよいか？
• RQ2 曖昧なボラティリティを伴う市場における適切なアービタージュの概念は何か？
• RQ3 ボラティリティ不確実性下でヨーロピアン継続的クレームのアービタージュなし価格区間はどのように生じるか？
• RQ4 G期待値とGブラウン運動はボラティリティの曖昧さをどのように捉えているか？
• RQ5 マルティンゲール表現定理をGフレームワークに拡張することで、ヘッジと価格設定はどのように可能になるか？

主な発見

• Gブラウン運動が一意な確率測度を生成しないため、ボラティリティ不確実性のため市場は不完全になる。
• ヨーロピアン継続的クレームのアービタージュなし価格の区間は、$ \sup_{P \in \mathcal{P}} E^P(H_T \gamma_T^{-1}) $ および $ \sup_{P \in \mathcal{P}} E^P(-H_T \gamma_T^{-1}) $ で与えられ、最悪ケースおよび最良ケースの割引期待ペイオフを反映する。
• マコフ的クレームの場合、G期待値フレームワークとマルティンゲール表現定理を用いて明示的な価格設定式を導出可能である。
• 二次変動過程 $ \langle B \rangle_t $ はほとんど確実に定数ではないが、$[\underline{\sigma}^2 t, \overline{\sigma}^2 t]$ の範囲に分布し、ボラティリティの不確実性を捉えている。
• 過程 $ -K_t = \int_0^t \eta_s d\langle B \rangle_s - \int_0^t 2G(\eta_s) ds $ はGマルティンゲールであり、二次変動がドリフト補正に存在しないという非古典的特徴を示す。
• Gマルティンゲール表現定理により、任意の $ \mathcal{F}_t $-可測クレーム $ \xi $ は、G伊藤積分と非減少補正項 $ K_t $ に一意に分解可能であり、ボラティリティの曖昧性下でもヘッジが可能になる。