[論文レビュー] FINITE ELEMENT ERROR ESTIMATES FOR CRITICAL EXPONENT SEMILINEAR PROBLEMS WITHOUT ANGLE CONDITIONS

Randolph E. Bank, Michael Holst+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2011

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 38被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、メッシュの制限的角条件を要しない2次元および3次元の臨界指数を有する半線形問題に有限要素法を適用した場合の事前誤差推定を確立する。点による制御を離散的最大原理によるものに置き換える代わりに、非線形項の局所リプシッツ条件を用いることで、準最適な誤差境界を導出し、標準的な有限要素近似理論から離散解のL¹制御が得られることを示している。幾何的メッシュ制約は不要となる。

ABSTRACT

In this article we consider a priori error estimates for semilinear problems with critical and subcritical polynomial nonlinearity in d space dimensions. When d = 2 and d = 3, it is well-understood how mesh geometry impacts finite element interpolant quality. However, much more restrictive conditions on angles are needed to derive ba- sic a priori quasi-optimal error estimates as well as a priori pointwise estimates for Galerkin approximations. These angle conditions, which are particularly difficult to sat- isfy in three dimensions in any type of unstructured or adaptive setting, are needed in order to gain pointwise control of the nonlinearity through discrete maximum princi- ples. In this article, we show how to derive these types of a priori estimates without requiring the discrete maximum principle, hence eliminating the need for restrictive an- gle conditions. We first describe a class of semilinear problems with critical exponents, and highlight some particularly important motivating examples in geometric analysis and general relativity. The solution theory for this class of problems is then reviewed, including generalized maximum principles and the construction of a priori L 1 bounds using cutoff functions and the De Giorgi iterative method (or Stampacchia truncation method). We then develop a basic quasi-optimal a priori error estimate for Galerkin approximations, where the nonlinearity is controlled using only a local Lipschitz prop- erty rather than through pointwise control of the discrete solution, which eliminates the requirement that the discrete solution satisfy a discrete form of the maximum principle. We show that the local Lipschitz property holds for nonlinearities up to and including the critical exponent. We then use some well-known results in finite element approximation theory to show that, under some additional minimal smoothness assumptions, that the a priori error estimate is itself enough to give L 1 control the discrete solution, with- out the need for restrictive angle conditions that would be required to obtain a discrete maximum principle.

研究の動機と目的

• 2次元および3次元において、メッシュの角条件に制限を要する既存の有限要素誤差推定の限界を解消すること。
• ガレルキン近似の事前誤差境界を導出する際に、離散的最大原理を必要としないこと。
• 非線形項の局所リプシッツ性のみを用いて、臨界および亜臨界非線形性を有する半線形問題に対して準最適な誤差推定を確立すること。
• 幾何的メッシュ制約なしに、離散解のL¹制御が標準的な有限要素近似理論に基づいて達成できることを示すこと。
• 非構造的または適応的メッシュにおける幾何的・相対論的PDEに臨界非線形性を有する有限要素法の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、微分幾何学および一般相対性理論に由来する、臨界指数を有する半線形問題のクラスを分析する。
• 一般化された最大原理とデ・ジョルジ反復法（またはスタンパチア・切断法）を用いて、正確解に対する事前L¹バインディングを構築する。
• 離散的最大原理を課える代わりに、非線形項を解の局所リプシッツ条件によって制御し、臨界指数まで成立する。
• 標準的な有限要素近似理論に依拠して、最小限の滑らかさの仮定のもとで準最適な誤差推定を導出する。
• 主な革新点は、局所リプシッツ性が、制限的メッシュ角条件を要せず、離散解のL¹制御を達成するのに十分であることを示したことにある。
• 関数解析的推定と切断技術を組み合わせることで、点での離散的境界に依存しない解析を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界指数を有する半線形問題の有限要素近似に対して、制限的メッシュ角条件を要しない事前誤差推定を導出できるか？
• RQ2 ガレルキン近似における非線形項を、離散的最大原理を強制せずに制御することは可能か？
• RQ3 非線形項の局所リプシッツ性が、準最適な誤差推定および離散解のL¹制御を確立するために十分か？
• RQ4 幾何的メッシュ制約なしに、標準的な有限要素近似理論を用いて離散解のL¹バインディングを達成できるか？
• RQ5 デ・ジョルジ反復法およびカットオフ関数は、臨界指数問題に対する事前L¹バインディングを確立するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、離散的最大原理を要しないガレルキン近似に対して、準最適な事前誤差推定を確立した。
• 臨界指数まで成立する非線形項の局所リプシッツ性が、点での境界に依存せずに非線形項を制御するために十分である。
• 制限的角条件なしに、離散解のL¹制御が標準的な有限要素近似理論にのみ依拠して達成された。
• 本手法は、2次元および3次元の臨界指数を有する半線形問題に適用可能であり、微分幾何学および一般相対性理論の重要なケースを含む。
• 非構造的または適応的有限要素設定において満たすのが難しいメッシュ依存の角条件を排除できた。
• 結果として、実用的な計算状況における非線形PDEの広いクラスに有限要素法の適用範囲が拡張された。