[論文レビュー] Finite element systems of differential forms

Snorre H. Christiansen|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2010

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 110被引用数 50

ひとこと要約

本稿では、多面体メッシュ上の複体の逆系を用いた微分形式の統一的有限要素フレームワークを提案する。これにより、外部微分と可換な補間子と安定な射影を備えた高次混合有限要素が可能になる。主な貢献は、外部微分と可換であり、Lebesgue空間で一様に安定する補間子および滑らかさ関数の構築であり、これによりHodge-Laplacianの高次固有対近似と、ロバストな変分的離散化が可能になる。

ABSTRACT

We develop the theory of mixed finite elements in terms of special inverse systems of complexes of differential forms, defined over cellular complexes. Inclusion of cells corresponds to pullback of forms. The theory covers for instance composite piecewise polynomial finite elements of variable order over polyhedral grids. Under natural algebraic and metric conditions, interpolators and smoothers are constructed, which commute with the exterior derivative and whose product is uniformly stable in Lebesgue spaces. As a consequence we obtain not only eigenpair approximation for the Hodge-Laplacian in mixed form, but also variants of Sobolev injections and translation estimates adapted to variational discretizations.

研究の動機と目的

• 微分形式と細胞複体に基づく混合有限要素の体系的理論の構築を目的とする。
• 特に低正則性関数空間において、有界な補間子の欠如という混合有限要素法の課題を解決することを目的とする。
• 外部微分と可換であり、Lebesgue空間で一様に安定する補間子および滑らかさ関数の構築を目的とする。
• 統一的フレームワークを通じて、勾配、回転、発散作用素を含むPDEの高次変分的離散化を可能にすることを目的とする。
• 代数的および計量的条件を用いて、Whitney形式およびRaviart-Thomas/Nédélec要素を任意の多項式次数および多面体メッシュに一般化することを目的とする。

提案手法

• 細胞複体上の微分形式のde Rham複体の逆系として混合有限要素を形式化する。
• 微分形式の引き戻しを用いて細胞の包含関係を定義し、外部微分と整合性を保証する。
• メッシュ上の代数的および計量的条件を用いて、外部微分と可換であり、かつ補間子および滑らかさ関数を構築する。
• 双対性の議論と拡張作用素を用いて、L^p空間における補間子-滑らかさ関数積の均一安定性を保証する。
• 安定性のもとで、Bramble-Hilbert補題を適用して高次近似性質を導出する。
• Partition of unityと局所法線ベクトル場を用いて、境界正則性を保証するチューブ型近傍微同相写像を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多面体メッシュ上での変動多項式次数を有する微分形式に対して、混合有限要素法を体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 補間子および滑らかさ関数が外部微分と可換であり、Lebesgueノルムで一様に安定するための条件は何か？
• RQ3 本フレームワークにより、古典的有限要素（例：Raviart-Thomas、Nédélec）を任意の多項式次数に一般化し、可換性を保てるか？
• RQ4 理論が、混合形Hodge-Laplacianの高次固有対近似をどのように支援できるか？
• RQ5 メッシュに対する幾何的および計量的仮定は、微分形式の安定かつ可換な射影の存在を保証するか？

主な発見

• 外部微分と可換であり、すべてのp ∈ [1, ∞]に対してL^p空間で一様に安定な補間子および滑らかさ関数が構築された。
• 本フレームワークは、任意の多項式次数の多面体メッシュ上での高次混合有限要素をサポートし、古典的Raviart-ThomasおよびNédélec要素を一般化する。
• 可換な補間子と一様安定性のおかげで、混合形Hodge-Laplacianの固有対近似が高次収束を達成する。
• 本理論は、変分的離散化に適したSobolev埋没と平行移動推定のバリエーションを提供する。
• Lipschitz境界を有する領域に対して、チューブ型近傍微同相写像が存在し、局所正則性を保証するとともに、拡張作用素の構成を可能にする。
• 本フレームワークは微分形式の有限要素法を統一し、PDEの高次かつ適合する離散化の基盤を提供する。