[論文レビュー] Finite element theory on curved domains with applications to DGFEMs

Ellya L. Kawecki|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、曲がった領域における不連続ガラーキン有限要素法（DGFEM）に対して、トレース、逆、ポンカラーフリードリッヒス、および補間バウンドといった基本的な有限要素推定値を確立し、ポアソン問題におけるIPDG法およびビハーモニック問題における$hp$-DGFEMバージョンについて、最適な安定性および収束率を証明する。また、単位円板のような非多面体領域でも厳密な誤差解析を可能にするために、曲がった単体に対する新しい曲率バウンドを導入する。

ABSTRACT

In this paper we provide key estimates used in the stability and error analysis of discontinuous Galerkin finite element methods (DGFEMs) on domains with curved boundaries. In particular, we review trace estimates, inverse estimates, discrete Poincaré--Friedrichs' inequalities, and optimal interpolation estimates in noninteger Hilbert-Sobolev norms, that are well known in the case of polytopal domains. We also prove curvature bounds for curved simplices, which does not seem to be present in the existing literature, even in the polytopal setting, since polytopal domains have piecewise zero curvature. We demonstrate the value of these estimates, by analysing the IPDG method for the Poisson problem, introduced by Douglas and Dupont [\emph{Computing Methods in Applied Sciences, Lecture Notes in Physics, vol 58. Springer, Berlin, Heidelberg}, pages 207--216. Springer, 1976], and by analysing a variant of the $hp$-DGFEM for the biharmonic problem introduced by Mozolevski and Süli [\emph{Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering}, 196(13-16):1851--1863, 2007]. In both cases we prove stability estimates and optimal a priori error estimates. Numerical results are provided, validating the proven error estimates.

研究の動機と目的

• 非整数ソボレフノルムを伴う曲がった領域への古典的有限要素推定値（トレース、逆、ポンカラーフリードリッヒス、補間）の拡張を目的とする。
• 既存の文献においても多面体領域においても欠落していた、曲がった単体の曲率バウンドを体系的に導出することを目的とする。
• 曲がった領域におけるポアソン問題に対するIPDG法の安定性および収束性を分析することを目的とする。
• ビハーモニック問題に適用される$hp$-DGFEMバージョンについて、最適誤差推定値を拡張することを目的とする。
• 理論的結果を、メッシュサイズと多項式次数を変化させた単位円板領域における数値実験で検証することを目的とする。

提案手法

• 幾何的マッピングと曲率に配慮した補間を用いて、曲がった単体要素におけるトレースおよび逆推定値を導出する。
• ペナルティに基づくDGFEMに特化した離散ポンカラーフリードリッヒス不等式を、曲がった領域上で証明する。
• 幾何的マッピングのヘッセ行列を分析することで、曲がった単体に対する新しい曲率バウンドを導入し、有限要素空間内での歪みの有界性を保証する。
• 非整数ヒルベルト＝ソボレフノルムにおける最適補間推定値を、曲がった要素へと拡張し、多面体領域からの既知の結果を拡張する。
• 導出した推定値を用いて、ポアソン問題に対するIPDG法およびビハーモニック問題に対する$hp$-DGFEMバージョンの安定性と収束性を分析する。
• メッシュサイズと多項式次数を変化させた単位円板上での数値実験を通じて、理論的収束率の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DGFEMが曲がった領域に適用される場合に必要な有限要素推定値（トレース、逆、ポンカラーフリードリッヒス、補間）は何か？
• RQ2 曲がった単体の曲率バウンドをどのように厳密に導出できるか。また、なぜ誤差解析において不可欠なのか？
• RQ3 ポアソン問題におけるIPDG法が曲がった領域で最適な安定性および収束率を示すことができるか？
• RQ4 同様に、ビハーモニック問題に適用される$hp$-DGFEMバージョンに対しても、同様の最適誤差推定値が達成可能か？
• RQ5 単位円板上での数値実験により、ポアソン問題およびビハーモニック問題の理論的収束率が確認できるか？

主な発見

• 本稿では、既存の文献でさえも多面体要素に対しても欠落していた、曲がった単体の曲率バウンドを初めて証明し、独創的な貢献を果たす。
• ビハーモニック問題に対する$hp$-DGFEMでは、$H^1$-半ノルムで$\mathcal{O}(h^{p})$、$H^2$-ノルムで$\mathcal{O}(h^{p-1})$の最適収束率が達成され、理論的予測と一致する。
• ポアソン問題に対しては、IPDG法が$L^2$-ノルムで$\mathcal{O}(h^{p+1})$、$H^1$-ノルムで$\mathcal{O}(h^{p})$の最適収束率を示し、数値実験でも確認された。
• 単位円板上での両問題の数値結果は、理論的推定値と一致する収束率を示しており、多項式次数とノルムに応じて観察された収束率は約2.0〜4.0の範囲に収束する。
• 導出された推定値により、曲がった領域における2階および4階楕円型偏微分方程式（非発散型形式を含む）の厳密な安定性および事前誤差解析が可能になる。
• 本フレームワークは、将来的に高階および非発散型楕円型問題に対する最適収束を実現する、曲がった領域上での応用を支援する。