[論文レビュー] Finite Volume Spaces and Sparsification

Ilan Newman, Yuri Rabinovich|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限 $d$-ボリュームをメトリック空間の高次元一般化として導入し、$\varepsilon_1$-ボリュームの理論を構築する。特に、カットメトリクスを一般化し、ユークリッドおよびハイパートリー・ボリュームを含む$\varepsilon_1$-ボリュームを扱う。任意の $d$-ボリュームは、$O(n^d)$ の歪みで $\varepsilon_1$-ボリュームによって近似可能であるが、$d=2$ の場合、一部の $2$-ボリュームは少なくとも $\tilde{\Omega}(n^{1/5})$ の歪みを必要とする。また、任意の $\ell_1$ メトリックは、$O(n/\epsilon^2)$ 個のカットメトリクスで $(1+\epsilon)$-近似可能であり、これにより従来の境界を改善する。

ABSTRACT

We introduce and study finite $d$-volumes - the high dimensional generalization of finite metric spaces. Having developed a suitable combinatorial machinery, we define $\ell_1$-volumes and show that they contain Euclidean volumes and hypertree volumes. We show that they can approximate any $d$-volume with $O(n^d)$ multiplicative distortion. On the other hand, contrary to Bourgain's theorem for $d=1$, there exists a $2$-volume that on $n$ vertices that cannot be approximated by any $\ell_1$-volume with distortion smaller than $ ildeΩ(n^{1/5})$. We further address the problem of $\ell_1$-dimension reduction in the context of $\ell_1$ volumes, and show that this phenomenon does occur, although not to the same striking degree as it does for Euclidean metrics and volumes. In particular, we show that any $\ell_1$ metric on $n$ points can be $(1+ ε)$-approximated by a sum of $O(n/ε^2)$ cut metrics, improving over the best previously known bound of $O(n \log n)$ due to Schechtman. In order to deal with dimension reduction, we extend the techniques and ideas introduced by Karger and Bencz{ú}r, and Spielman et al.~in the context of graph Sparsification, and develop general methods with a wide range of applications.

研究の動機と目的

• 有限メトリック空間の高次元一般化として、有限 $d$-ボリュームの体系的理論を構築すること。
• カージャーとベンツゥール、スピルマンらの元々のグラフスパースフィケーション技法を、$\ell_1$-ボリュームおよび $d$-ボリュームの文脈に拡張すること。
• $\ell_1$-次元削減問題に取り組むこと：$n$ 点上の $\ell_1$ メトリックは、$O(n \log n)$ より少ない数のカットメトリクスで $(1+\epsilon)$-近似可能か。
• $d$-ボリュームを $\ell_1$-ボリュームで近似する際の歪みのタイトな境界を確立すること、特に $d=2$ の場合に注目し、ユークリッドの場合ほど効率的でないことを示すこと。
• 開発されたスパースフィケーションフレームワークを、幾何的不均衡問題（例：$\mathbb{R}^2$ 内の多角形体に対する小規模な重み付きサンプリング集合の構築）に応用すること。

提案手法

• 単体的複体の組合せ的構造を通じて $d$-ボリュームを定義し、ハイパーカットと $\ell_1$-ボリュームを $d$ 次元カットメトリクスの非負線形結合として定義する。
• 部分集合族とその分割挙動に関するインシデント行列を用いて、行列のランクを評価し、$\ell_1$-ボリュームに関する構造的結果を導出する。
• 確率的および線形代数的手法を適用し、ランダムなブール行列が高確率でランク $\theta(\min\{\log m, n\})$ を持つことを示す。
• 重み付き $d$-ハイパーカットのサンプリングに基づくスパースフィケーション法を構築し、$\ell_1$-ボリュームが $d$ 次元カットメトリクスの非負結合として表現可能であるという事実を活用する。
• $n$ 個の点からなる平面内の集合 $S$ の頂点を持つすべての多角形の体積を、$(1\pm\epsilon)$-近似する重み付きサンプリング集合 $P$ を、$O(n^2 / \epsilon^2)$ のサイズで多項式時間で計算するアルゴリズムを構築する。
• $\mathbb{R}^2$ 内の三角形が誘導する体積が幾何的 $\ell_1$-ボリュームを形成することを活用し、定理 16 を適用して次元削減を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限 $d$-ボリュームは、有界な歪みで $\ell_1$-ボリュームによって近似可能か？特に $d=2$ の場合、最小の歪みは何か？
• RQ2 $n$ 点上の $\ell_1$-メトリックに対して $\ell_1$-次元削減が成立するか？その場合、$O(1+\epsilon)$ の歪みを達成するには何個のカットメトリクスが必要か？
• RQ3 特定の $2$-ボリュームを $\ell_1$-ボリュームで近似する際に、超定数の下界が存在するか？上界と比較するとどうか？
• RQ4 グラフ理論におけるスパースフィケーション技法は、$d$-ボリュームに一般化可能か？また、幾何的不均衡問題への応用は可能か？
• RQ5 $\mathbb{R}^2$ 内の有限点集合 $S$ の頂点を持つすべての多角形の体積を、$(1\pm\epsilon)$-近似する最小の重み付きサンプリング集合のサイズは何か？

主な発見

• 任意の $d$-ボリュームは、$O(n^d)$ の乗法的歪みで $\ell_1$-ボリュームによって近似可能であり、これは対数要因を除いてタイトである。
• $n$ 頂点上に存在する $2$-ボリュームのうち、任意の $\ell_1$-ボリュームによる歪みが $\tilde{\Omega}(n^{1/5})$ より小さいものに近似できないものがある。これは $d=2$ に対して超定数の下界を示しており、$d=1$ の場合にブルーゲンの定理により $O(1)$ 歪みが可能であるのとは対照的である。
• $n$ 点上の任意の $\ell_1$ メトリックは、$O(n / \epsilon^2)$ 個のカットメトリクスの和によって $(1+\epsilon)$-近似可能であり、これはシェクトマンによる $O(n \log n)$ の既存境界を改善する。
• $\ell_1$-ボリュームの自然な部分クラス（$d=1$ 時にすべての $\ell_1$ メトリックを含む）に対しては、必要なハイパーカット $d$-ボリュームの数は $O(n^d / \epsilon^2)$ であり、これは自明な $O(n^{d+1})$ の境界よりも顕著に優れている。
• $n$ 個の点からなる平面内の集合 $S$ の頂点を持つすべての多角形の体積を、$(1\pm\epsilon)$-近似する重み付きサンプリング集合 $P$ を、$O(n^2 / \epsilon^2)$ のサイズで効率的に構築可能であり、これは幾何的不均衡問題を解決する。
• 本手法は高次元へ一般化可能である：$d$-単体および $S$ 上の三角形分割可能な多面体に対しては、$O(n^d / \epsilon^2)$ のサイズのサンプリング集合があれば、$(1\pm\epsilon)$-体積近似が達成可能である。