[論文レビュー] Finsleroid-Space Supplemented by Angle

G. S. Asanov|ArXiv.org|Oct 13, 2003

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、測地線解から角およびスカラー積を導出することで、${\cal E}_{g}^{PD}$-フィンスラーイド空間の新規な二ベクトル拡張を提案し、ユークリッド幾何の一般化となる自然で加法的な角測度をもたらす。主な貢献は、測地線方程式の明示的解法と一貫性のあるスカラー積を可能にする共形準ユークリッド計量テンソルであり、ベクトルが等しい場合に標準的なフィンスラー計量に還元される。

ABSTRACT

Our previous exploration of the $\cE_g^{PD}$-geometry has shown that the field is promising. Namely, the $\cE_g^{PD}$-approach is amenable to development of novel trends in relativistic and metric differential geometry and can particularly be effective in context of the Finslerian or Minkowskian Geometries. The main point of the present paper is the tenet that the $\cE_g^{PD}$-space-associated one-vector Finslerian metric function admits in quite a natural way an attractive two-vector extension, thereby giving rise to angle and scalar product. The underlying idea is to derive the angular measure from the solutions to the geodesic equation, which prove to be obtainable in an explicit simple form. The respective investigation is presented in Part I. Part II serves as an extended Addendum enclosing the material which is primary for the $\cE_g^{PD}$-space. The Finsleroid, instead of the unit sphere, is taken now as carrier proper of the spherical image. The indicatrix is, of course, our primary tool.

研究の動機と目的

• フィンスラー幾何およびミンコフスキー幾何において、自然で曖昧さのない角測度を定義する長年の問題に取り組むこと。
• 角およびスカラー積が計量テンソルに依存するのではなく、測地線構造から導出可能であることを示すこと。
• ${\cal E}_{g}^{PD}$-空間における一ベクトルフィンスラー計量の二ベクトル拡張を構築し、スカラー積および角の計算を可能にすること。
• 測地線導出および曲率解析を簡略化する共形準ユークリッドフレームワークを確立すること。
• 余弦定理および平行四辺形法則が、この拡張された幾何構造において自然に一般化されることを示すこと。

提案手法

• ${\cal E}_{g}^{PD}$-空間における測地線方程式を準ユークリッドフレームワークを用いて導出し、軌道ベクトル $\mathbf{t}(s)$ の明示的解が得られる。
• 測地線解から導出されたスカラー積を用いて二ベクトル計量テンソルを定義し、成分 $n^{rs} = h^2 r^{rs} + \frac{1}{4}g^2 L^r L^s$ を得る。
• 角測度をユークリッド角の係数として定義し、加法性および余弦定理との整合性を保証する。
• 共形因子が $S(t)$ および $g$ に依存するように、準ユークリッド計量テンソル $n_{pq}(g;t)$ をユークリッド計量に共形として構成する。
• $n_{pq}(g;t)$ から得られるクリスティオーベル記号および曲率テンソルを用い、簡単な曲率式 $R_{prqs} = -\frac{1}{4}G^2 (H_{pq}H_{rs} - H_{ps}H_{qr}) / S^2$ を得る。
• ${\cal F}_{g}^{PD}$-誘導写像を用いて、フィンスラー計量 $g_{pq}$ を準ユークリッド形式に変換し、幾何的不変量の明示的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量テンソルに依存するのではなく、フィンスラーロイド空間において自然で曖昧さのない角測度を定義できるか？
• RQ2 ${\cal E}_{g}^{PD}$-空間の測地線構造は、角およびスカラー積の導出を可能にする明示的・閉形式の解を有するか？
• RQ3 測地線から導出されたスカラー積は、余弦定理および角の加法性と整合的か？
• RQ4 フィンスラーロイド空間は、幾何的不変量を保存し、曲率計算を簡略化する準ユークリッドフレームワークに埋め込めるか？
• RQ5 ${\cal E}_{g}^{PD}$-空間の曲率テンソルは、基礎となる準ユークリッド構造およびフィンスラー計量とどのように関係するか？

主な発見

• ${\cal E}_{g}^{PD}$-空間における測地線方程式は、$S^2(s) = a^2 + 2bs + s^2$ を満たす明示的解 $\mathbf{t}(s)$ を有し、幾何的量の直接的導出を可能にする。
• 二つのベクトル間の角は、ユークリッド角の係数として得られ、加法性および余弦定理との適合性を保証する。
• スカラー積は $g_{pq} = n_{rs} \sigma_p^r \sigma_q^s$ として導出され、$n^{rs} = h^2 r^{rs} + \frac{1}{4}g^2 L^r L^s$ を満たし、ベクトルが等しい場合に一ベクトルフィンスラー計量に還元される。
• 準ユークリッド計量テンソル $n_{pq}(g;t)$ は、共形因子 $f = \left(\frac{1}{2}S^2\right)^{\gamma/2}$、$\gamma = \sqrt{1 - g^2/4} - 1$ を用いてユークリッド計量に共形であり、曲率および測地線解析の簡略化を可能にする。
• 曲率テンソルは $R_{prqs} = -\frac{1}{4}G^2 (H_{pq}H_{rs} - H_{ps}H_{qr}) / S^2$ として導出され、フィンスラーイド曲率と整合的であり、$L^p R_{pqrs} = 0$ を満たすことが確認された。
• 準ユークリッド計量テンソルの行列式は定数である：$\det(n_{rs}) = h^{2(1-N)} \det(r_{ab})$ であり、非退化で安定な幾何的構造を示している。